Hallo
Und schuldet der Mieter dem Vermieter die NK in voller Höhe? (bzw. die Sozialbehörde, die gesetzlich die NK immer in voller Höhe übernimmt)
Die vereinbarten Zahlungen (Miete und Betriebskosten) schuldet immer der Vertragspartner - d.h. der Mieter. Die Sozialbehörde dürfte kaum als Mieter den Mietvertrag unterzeichnet haben.
Wie/ob/von wem der Mieter Unterstützungen/Zuschüsse erhält, das ist alleine Sache des Mieters.
Im übrigen zahlt auch das Amt die Betriebskosten nur in angemessener Höhe.
Nachdem nun die NK-Abrechnung erstellt wurde, beruft sich der Mieter darauf, dass es durch die Sozialbehörde Abschlagszahlungen gegeben hätte, was die Behörde auch brieflich bestätigt.
M.E. hat das Amt mit der Verwendung des Oberbegriffs „Miete“ gar nicht so unrecht, wenn es seinen Zahlungsbetrag auf Grundmiete/Mietzins und Betriebskosten bezieht.
http://www.mietrechtslexikon.de/a1lexikon2/m1/miete.htm
Mir tut nur immer der Begriff Nebenkosten/NK weh 
http://ids-verwaltung.de/download/C5fbe4e4fX125075b9…
Aber es soll ja wohl nicht um Begrifflichkeiten gehen, sondern um eine Lösung des Problems?!
Wenn der Vermieter in der Abrechnung keine Vorauszahlungen angerechnet hat, dann ist ja offensichtlich nicht komplette vereinbarte monatliche Gesamtbetrag gezahlt worden.
Den fehlenden Betrag schuldet also immer noch der Mieter - egal ob man das nun als fehlende Miete oder fehlende Vorauszahlung bezeichnen möchte (ich bleibe hier wieder bei den üblichen Begriffen des normalen Sprachgebrauchs).
Sicher wäre es problemfreier gewesen, sich vorher über die Verbuchung zu einigen - z.B. eben Aufteilung/Zuordnung auf Miete/Betriebskosten gemäß Bewilligungsbescheid des Amtes, damit der Mieter später weniger Kuddelmuddel mit dem Amt hat.
Warum stellt sich das Problem überhaupt erst anlässlich der Betriebskostenabrechnung?
Hat der Vermieter wegen der fehlenden Beträge bislang nichts unternommen?
Grüsse Rudi