Bestimme Sie den Punkt y=x² der vom Punkt (18/0) den kürzesten Abstand hat?
Könnte mir jemand bei diesen Bsp helfen?
Hi,
ich würde sagen der Punkt mit minimalem Abstand erfüllt die Bedingung, daß er auf einer Geraden mit folgenden Eigenschaften liegt:
Sie geht durch den angegeben Punkt, sie schneidet die angegebene Kurve, sie tut dies im Winkel 90°.
Damit hats Du die Bestimmungsgleichung doch erledigt, oder?
Herzliche Grüße,
Max
Hallo Thomas,
für einen beliebigen Punkt (x;y) auf der Funktion y=x^2 ist der Abstand zu dem Punkt (18;0) a = wurzel ((18-x)^2 + (0-y)^2) ^
[Allgemein Abstand zwischen zwei Punkten = wurzel ((x1-x2)^2 + (y1-y2)^2))]
Da Du das Minimum von a suchst, kann vereinbacht werden zu
min f = (18-x)^2 + y^2
Darin einsetzen y = x^2 ergibt min f = (18-x)^2 + x^4, jetzt ausmultiplizieren (Binomische Formel) ergibt min f = 324 - 36x + x^2 + x^4
Da Du das Minimum suchst, f nach (x) ableiten, ergibt
f’ = 4x^3 + 2x - 36 = 0
Durch ausprobieren erhält man als Lösung x=2
Eingesetzt in die Funktion y=x^2 ergibt sich als Lösung der Punkt (2;4) auf dem Graphen y=x^2.
Der Abstand zu (18;0) ist dann übrigens wurzel(272)=16,4924225…
Gruss
Moritz
Bestimme Sie den Punkt y=x² der vom Punkt (18/0) den kürzesten
Abstand hat?Könnte mir jemand bei diesen Bsp helfen?
(2,4)
Für den Abstand d zweier Punkte (x1,y1) und (x2,y2) gilt allgemein:
d =((x1-x2)²+(y1-y2)²)^(1/2)
Einsetzen von (x1,y1)=(x,x²) und (x2,y2)=(18,0) liefert in diesem Fall:
d = ((x-18)² + x^4 )^(1/2)
Der minimale Abstand ergibt sich dann, indem man die Ableitung Null setzt:
0=dd/dx= 1/2 * ((x-18)² + x^4 )^(-1/2) * (2(x-18) + 4x^3)
0 = x - 18 + 2x^3
x=2 => y=x^2=4
Ergebnis: der Punkt (2,4) hat den kleinsten Abstand