Hi!
Die Brennweite f einer Linse soll über die Abbildung gemessen werden, wobei die Abbildungsgleichung: 1/f = 1/g + 1/b ist.
In welchem Verhältnis müssen Gegenstandsweite g und Bildweite b zueinander stehen, damit der Fehler f minimal wird, wenn man annimmt, dass der absolute Fehler der Bildweite b viermal so groß ist, wie der der Gegenstandsweite g???
Leider weiß ich nicht, wie man den minimalen absoluten Fehler herausbekommt;
was muss ich nach was wie ableiten!!!
Hi!
Abbildungsgleichung: 1/f = 1/g + 1/b
=HB (Hauptbedingung
In welchem Verhältnis müssen Gegenstandsweite g und Bildweite
b zueinander stehen, damit der Fehler f minimal wird, wenn man
annimmt, dass der absolute Fehler der Bildweite b viermal so
groß ist, wie der der Gegenstandsweite g???
4b=g
=NB
Leider weiß ich nicht, wie man den minimalen absoluten Fehler
herausbekommt;was muss ich nach was wie ableiten!!!
1/f=1/4b + 1/b
und das dann nach f umformen (f=…) und nach b ableiten
MFG
Thomas
Hallo,
In welchem Verhältnis müssen Gegenstandsweite g und Bildweite
b zueinander stehen, damit der Fehler f minimal wird, wenn man
annimmt, dass der absolute Fehler der Bildweite b viermal so
groß ist, wie der der Gegenstandsweite g???Leider weiß ich nicht, wie man den minimalen absoluten Fehler
herausbekommt;
Ich wußte gar nicht, dass es einen minimalen absoluten Fehler gibt.
Ich würde es so machen:
Kann mich auch täuschen, Fehlerrechnung ist schon eine Weile her.
MfG Dirk
Hallo,
Ich würde es so machen:
- Die Formel 1/f=1/b+1/g umstellen zu f=(g*b)/(g+b)
- Totales Differential anwenden. Dann ergibt sich
delta f=fb*delta b+fg*delta g
fb…Ableitung von f nach b
delta xyz…absoluter Fehler der Größe xyz
3.Nach Einsetzen der Werte ist delta f dann der absolute
Fehler von f.
Völlig richtig… aber jetzt soll eben der absolute Fehler delta f irgendwie nochmals differenziert werden und anschließend gleich Null gesetz werden…
allerdings bin ich mir nicht sicher, da delta g = delta 4*b ist, ob ich zuerst alles auf einen Bruchstrich bringen muss und dann ableite
oder ob ich noch einmal das totale Differential anwenden muss und dann gleich Null setze???
Hallo,
ich habe einmal versucht nach Anwenden des totalen Differentials die lokalen Extrema zu berechnen, ergebnislos, d.h. es gibt keine oder ich habe mich schlichtweg verrechnet. Da bin ich mit meinem Latein leider auch am Ende. Frag doch vielleicht mal deinen Professor, oder handelt es sich hier um eine Belegaufgabe?
PS: Die Lösung würde mich auch mal interessieren, wenn du sie hast kannst du sie ja mal posten.
MfG Dirk
Minimum bei b/g=4
Hallo Patrick und Dirk,
ich hab’ das mal durchgerechnet, bei mir kommt da folgende Lösung raus:
Absoluter Fehler der Brennweite:
Δf=(df/dg)*Δg+(df/db)Δb
=(b2/(g+b)2)*Δg+(g2/(g+b)2)*Δb
=((b/g)2+4)/(1+(b/g)2)*Δg, wobei ich Δb=4*Δg eingesetzt habe.
Mit x=b/g folgt nun:
Δf(x)=(x2+4)/(1+x)2*Δg
Ableiten nach x und Null setzen ergibt:
Δf’(x)=[2*x*(1+x)2-2*(1+x)(x2+4)]/(1+x)4*Δg=0, d.h.
2*x*(1+x)2-2*(1+x)(x2+4)=0, d.h.
x*(1+x)2=(1+x)*(x2+4), d.h.
x=-1 oder x*(1+x)=x2+4, d.h.
x=-1 oder x=4.
-1 ist eine Polstelle, also bleibt nur x=4.
Die zweite Ableitung von Δf nach x lautet
Δf’’(x)=[2/(1+x)^2-8*x/(1+x)^3+6*(x^2+4)/(1+x)^4]*Δg, also
Δf’’(4)=2/125*Δg>0.
Somit ist bei 4 tatsächlich ein lokales Minimum vorhanden.
Um sicherzugehen, dass 4 auch ein globales Minimum ist, müssen noch die Ränder links von der Polstelle -1 untersucht werden:
lim( Δf(x), x–>-∞ ) = 1 > 4/5 = Δf(4)
lim( Δf(x), x–>-1, von links kommend) = +∞
Somit ist x=b/g=4/5 ein globales Minimum.
Um den absoluten Fehler der Brennweite zu minimieren, müssen b nd g im Verhältnis 4 zu 1 stehen.
Viele Grüße
Jens
Allgemeiner:
Hallo nochmal,
wenn die absoluten Fehler von b und g nicht im Verhältnis 4:1 zueinander stehen, sondern wenn allgemeiner gilt:
Δb/Δg=r,
so gibt es ein globales Minimum für den absoluten Fehler von Δf, falls b und g im Vehältnis
b/g=r
stehen. Dies gilt jedoch nur, solange r>-1 ist. Da aber absolute Fehler nie negativ sind, gilt obiges also allgemein.
Und noch etwas. Das vollständige Differential von f lautet zwar
Δf = ∂f/∂b*Δb + ∂f/∂g*Δg,
aber der absolute Fehler ist eigentlich durch
Δf = |∂f/∂b|*Δb + |∂f/∂g|*Δg
gegeben. Das liegt daran, dass der Fehler als absoluter Abstand zum richtigen Wert definiert wird. Im vorliegenden Fall fällt dies aber nicht auf, da dort
∂f/∂b=g^2/(b+g)^2>0 bzw.
∂f/∂g=b^2/(b+g)^2>0 gilt.
Viele Grüße
Jens
Hallo Jens,
Vielen herzlichen Dank! habs grad nachgerechnet!
perfekt