Hallo,
ich finde nicht den Einstieg :
Ein Behälter des Volumens V1 sei mit warmem Wasser einer Anfangstemperatur T1 gefüllt.
Es fließt Wasser mit dV/dt = const und einer gleichmäßigen kälteren Temperatur T0 zu und vermischt sich sofort, so dass sich im Behälter eine immer niedrigere Temperatur T einstellt. Gleichzeitig fließt die Wassermenge dV/dt ab, und zwar mit der Temperatur T.
Gibt es eine mathematisch „saubere“ Lösung zur Berechnung der Temperatur T als Funktion der Zeit t ? Eine schrittweise Berechnung wäre zwar einfach, aber …
Gruß
Karl
Ein Behälter des Volumens V1 sei mit warmem Wasser einer
Anfangstemperatur T1 gefüllt.
Es fließt Wasser mit dV/dt = const und einer gleichmäßigen
kälteren Temperatur T0 zu und vermischt sich sofort, so dass
sich im Behälter eine immer niedrigere Temperatur T einstellt.
Gleichzeitig fließt die Wassermenge dV/dt ab, und zwar mit der
Temperatur T.
Gibt es eine mathematisch „saubere“ Lösung zur Berechnung der
Temperatur T als Funktion der Zeit t ? Eine schrittweise
Berechnung wäre zwar einfach, aber …
Hallo Karl,
…und weil die einfach ist, führen wir sie durch!
Mit c bezeichne ich die „Konzentration“ des warmen Wassers, d. h. den Volumentanteil W des warmen Wassers am Gesamtvolumen V:
c := W/V
V ist konstant, aber W ändert sich mit der Zeit – wie genau, das wollen wir aufklären. Die Warmwasser-Konzentration zu einem beliebigen Zeitpunkt t beträgt
c(t) := W(t)/V
So weit, so gut. Alles, was wir jetzt herausfinden müssen, ist, wie groß die Warmwasser-Konzentration zum Zeitpunkt t + dt ist:
c(t + dt) = ?
Antwort: Während die Uhr von t nach t + dt tickt, strömt kaltes Wasser mit dem Volumen I dt zu, und das gleiche Volumen an Warm-Kalt-Mix ab. Dabei besteht der abströmende Mix zu c(t) I dt aus warmem Wasser (und (1 – c(t)) I dt aus kaltem Wasser, das uns aber nicht interessiert). Dabei ist die „Stromstärke“ I definiert als I := dV/dt. Also:
c(t + dt) = (W(t) – c(t) I dt)/V
= W(t)/V – c(t) I/V dt
= c(t) – c(t) I/V dt
Wir sehen, dass hier der Quotient I/V herausgepurzelt ist. Es handelt sich um eine Konstante, die die Dimension einer Zeit (!) hat. Sie stellt die natürliche Zeiteinheit des Problems dar.
Wir definieren I/V =: τ und schreiben
c(t + dt) = c(t) – c(t) 1/τ dt
Guckt man sich diese Gleichung genau an, sieht man, dass darin die erste Zeitableitung von c steckt, denn es ist ja dc/dt = (c(t + dt) - c(t))/dt.
Das liefert:
dc/dt = – 1/τ c(t)
dc/dt + 1/τ c(t) = 0
Das ist die Differentialgleichung des Vorgangs. Sie ist sehr einfach (linear, von erster Ordnung, homogen) und Ihre Lösung wohlbekannt:
c(t) = exp(–t/τ)
Jetzt bleibt nur noch übrig, sich zu überlegen, welche Temperatur T das Gemisch aus kaltem und warmem Wasser im Bottich in Abhängigkeit von c annimmt. Antwort:
T© = Tkalt + (Twarm – Tkalt) c
(T© nimmt für c = 0 den Wert Tkalt an, für c = 1 den Wert Twarm, und verhält sich linear „dazwischen“)
Damit sind wir fertig:
T(t) = Tkalt + (Twarm – Tkalt) exp(–t/τ)
mit τ = V/I
Und die Moral von der Geschicht: Zwischen der „schrittweisen Berechnung“ und der „mathematisch sauberen Lösung“ gibt es gar keinen Unterschied 
.
Gruß
Martin
Tolle Ableitung! Mein Kompliment!
Wolgang D.
… selten, dass eine Herleitung so blitzsauber und verständlich ist.
Gruß
Karl