Mit einer Pistole hochgeschossen

[Andy_Ypsilon_03e250]

Hallo Methematiker

Ich hab da so eine Wette mit einem Kumpel laufen und wir brauchen unbedingt mathematische Hilfe.

Es liegt folgendes Zugrunde:
Man nehme an, ein 80 kg schwerer Mann wird mit einem Seil an eine Pistolenkugel (ca. 15 Gramm schwer) gebunden. Diese Kugel wird in eine Pistole bzw Gewehr geladen und abgefeuert (sagen wir in einem Vakuum auf der Erde -> Erdanziehung). Und wenn die Kugel ihre Höchstgeschwindigkeit erreicht hat (600 m/s), dann erst greift das Seil und der Mann wird von der Wucht hochgezogen. Jetzt die Frage: Wie Hoch wird dieser Mann geschleudert?
Die Situation kann es ja praktisch nicht geben, aber theoretisch kann man das ja errechnen, oder?

Mein Schätzung war: 20cm
Mein Kumpel: 2 meter

Es geht zwar nicht um viel, aber wenn ich näher dran liege, würde ich meinen Wetteinsatz mit demjenigen teilen, der das errechnen kann.

MfG Andy

[Oliver_a32c43]

Hallo Methematiker

Ich hab da so eine Wette mit einem Kumpel laufen und wir
brauchen unbedingt mathematische Hilfe.

Es liegt folgendes Zugrunde:
Man nehme an, ein 80 kg schwerer Mann wird mit einem Seil an
eine Pistolenkugel (ca. 15 Gramm schwer) gebunden. Diese Kugel
wird in eine Pistole bzw Gewehr geladen und abgefeuert (sagen
wir in einem Vakuum auf der Erde -> Erdanziehung). Und wenn
die Kugel ihre Höchstgeschwindigkeit erreicht hat (600 m/s),
dann erst greift das Seil und der Mann wird von der Wucht
hochgezogen. Jetzt die Frage: Wie Hoch wird dieser Mann
geschleudert?
Die Situation kann es ja praktisch nicht geben, aber
theoretisch kann man das ja errechnen, oder?

Also ich würde da so rangehen:

Ich gehe davon aus, dass die Kugel das Seil erst spannt und dann nach unten zurückgeschleudert wird. Also wird auf die Person der doppelte Impuls der Kugel übertragen.
Also folgt nach dem Impulserhaltungssatz:

MV=2mv V=2mv/M

M,V, Masse und Geschwindigkeit der Person
m,v, Masse und Geschwindigkeit der Kugel

Eingesetzt in die Formel für die Steighöhe eines nach oben geschossenen Objektes:

s=V²/2g
=2(m/M*v)²/g
= 2,6mm

Mein Schätzung war: 20cm
Mein Kumpel: 2 meter

Du bist näher dran, dein Kumpel schaut zuviel fern

Es geht zwar nicht um viel, aber wenn ich näher dran liege,
würde ich meinen Wetteinsatz mit demjenigen teilen, der das
errechnen kann.

um was geht es denn?

Gruß
Oliver

[Goosi_cfbb27]

Hi Oliver,

kannst Du mir bitte mal auf die Sprünge helfen? Diesen Satz verstehe ich beim besten Willen nicht:

Ich gehe davon aus, dass die Kugel das Seil erst spannt und
dann nach unten zurückgeschleudert wird. Also wird auf die
Person der doppelte Impuls der Kugel übertragen.

Wo soll denn der zusätzliche Impuls herkommen? Wenn die Kugel zurückgeschleudert wird, dürfte sich der Mann doch gar nicht bewegen, oder habe ich Dich falsch verstanden?
Ich hätte es so gelöst:
Masse Kugel mal ihre Geschwindigkeit ist gleich (Masse Kugel plus Masse Körper) mal (unbekannte) Geschwindigkeit.
Die so errechnete Geschindigkeit wieder wie bei eingesetzt.
Würde also bleiben:
s=(m*v/M)²/g und damit nur 1,3 mm…

Bitte lass mich nicht dumm sterben…

Danke und Gruß
Stefan

[Tino_81e90c]

Zwischenfrage:
Ich gehe davon aus, daß die gesamte kinetische Energie vom Projektil auf die Menschenmasse übertragen werden soll. Ansonsten wird es wohl etwas schwierig, weil die Restenergie immer eine Variable sein würde. Sie bewegt sich nämlich - realistisch - zwischen >0% und

[der_halt]

Ich gehe davon aus, daß die gesamte kinetische Energie vom
Projektil auf die Menschenmasse übertragen werden soll.
Ansonsten wird es wohl etwas schwierig, weil die Restenergie
immer eine Variable sein würde. Sie bewegt sich nämlich -
realistisch - zwischen >0% und

[Oliver_a32c43]

Hi Goosi

Wo soll denn der zusätzliche Impuls herkommen? Wenn die Kugel
zurückgeschleudert wird, dürfte sich der Mann doch gar nicht
bewegen, oder habe ich Dich falsch verstanden?

Nein, die Kugel wird durch das Seil quasi reflektiert, d.h. sie
gibt den doppelten Impuls ab.

Ich hätte es so gelöst:
Masse Kugel mal ihre Geschwindigkeit ist gleich (Masse Kugel
plus Masse Körper) mal (unbekannte) Geschwindigkeit.

das würde stimmen, falls die Kugel nur ihren einfachen Impuls
abgeben würde, d.h. wenn sie vom System Mann-Seil absorbiert
wird. (z.b. wenn sie irgendwie, irgenwo oben stecken bleiben
würde)
Durch das Seil wird sie aber elastisch zurückgeschleudert und
gibt somit den doppelten Impuls ab.

Gruß
Oliver

[der_halt]

Hallo,

Wo soll denn der zusätzliche Impuls herkommen? Wenn die Kugel
zurückgeschleudert wird, dürfte sich der Mann doch gar nicht
bewegen, oder habe ich Dich falsch verstanden?

Nein, die Kugel wird durch das Seil quasi reflektiert, d.h.
sie
gibt den doppelten Impuls ab.

in Näherung. Genau müsste man natürlich sowohl Energieerhaltung wie auch Impulserhaltung berücksichtigen.

Ich hätte es so gelöst:
Masse Kugel mal ihre Geschwindigkeit ist gleich (Masse Kugel
plus Masse Körper) mal (unbekannte) Geschwindigkeit.

das würde stimmen, falls die Kugel nur ihren einfachen Impuls
abgeben würde, d.h. wenn sie vom System Mann-Seil absorbiert
wird. (z.b. wenn sie irgendwie, irgenwo oben stecken bleiben
würde)

oder wenn die Kugel dasselbe Gewicht hätte wie der Mann.

Durch das Seil wird sie aber elastisch zurückgeschleudert und
gibt somit den doppelten Impuls ab.

in Näherung.

ciao
ralf

[BataillonDAmour_92d93d]

hi
jetzt müsch ich mich ooch noch mit in

das richtige physikalische modell für den versuch ist ein idealer elastischer stoss zweier zu massepunkten idealisierter objekte. der ansatz ist der impuls- und energieerhaltungssatz.
dieser ansatz ist für dich gleichzeitig der worst case - hier müsste der mensch am höchsten fliegen.

w ist kugelgeschwindigkeit nach stoss
y ist menschengeschwindigkeit nach stoss
m := 0.015 ist kugelmasse
n := 80 ist menschenmasse
v := 600 ist kugelgeschwindigkeit vor stoss
m·v = m·w + n·y
SOLVE(m·v = m·w + n·y, w)
w := 200·(9 - 80·y)/3
m/2·v^2 = m/2·w^2 + n/2·y^2
SOLVE(m/2·v^2 = m/2·w^2 + n/2·y^2, y)
y := 3600/16003
h = y^2/(2·9.81)
h = 0.002579307898 in metern ist die steighöhe des menschen

der für dich best case ist der ideal unelastische stoss zweier massepunkte (das seil ist nicht mehr elastisch):
m·v = (m + n)·w
SOLVE(m·v = (m + n)·w, w)
w := 1800/16003
h = w^2/(2·9.81)
h = 0.0006448269745 ist jetzt die steighöhe des menschen.

(derive rulet
gruss

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

[BataillonDAmour_92d93d]

hi
hier ma klassisch gerechnet
http://www.wer-weiss-was.de/cgi-bin/forum/showarticl…

gruss

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

[Uwi]

volle Aktion

Mein Schätzung war: 20cm
Mein Kumpel: 2 meter

Hallo,
diese Einschätzungen kommen womöglich tatsächlich daher, daß
Ihr beide Effekte in Aktionfilmen als Realität erkennt und
nicht als etrem übertriebene Tricks von Stuntman.

Da Schießt z.B. einer mit einer Pistole oder Gewehr auf den
Gegner und diese wird durch den Aufprall heftig mehrere Meter
nach hinten weggeschleudert.

Was aber ist mit dem Schützen? Dieser mußte doch den Gegenimpuls
zum Beschleunigen des Projektils aufnehmen und fliegt auch
heftig nach hinten weg, oder???

Nach der Einschätzung Deines Freundes könnte er sich
mit einer 12-schüssigen Pistole viele meter in die Höhe
katapultieren, wenn er die Pistole nur hintereinander in
Richtung Erdmittelpunkt anfeuert.
Nach Deiner eigenen Einschätzung kommst Du nur auf eine Höhe
von wenigen m. Das ist zwar nicht ganz so „lebensgefährlich“
aber falls Du nicht aufpasst, brichst Du Dir beim runterfallen
noch glatt ein Bein.

Noch viel witziger wird es, wenn Du ein Maschienengewehr benutzen
solltest. Da die Brisanz der Munition noch größer ist, müßte
jeder Maschinengewehrschütze bei Dauerfeuer aus den Hüfte wie
eine Rakete abgehen.
Gruß Uwi

[Joerg_Rehrmann]

Hallo Oliver,
ich muß Dir nochmal widersprechen

Also ich würde da so rangehen:

Ich gehe davon aus, dass die Kugel das Seil erst spannt und
dann nach unten zurückgeschleudert wird. Also wird auf die
Person der doppelte Impuls der Kugel übertragen.
Also folgt nach dem Impulserhaltungssatz:

Das gilt nur, wenn sonst keine Kräfte auf das System wirken. Da gibt es aber noch die Gewichtskraft, die die Füsse auf den Erdboden drückt und eine kraftschlüssige Verbindung zwischen Körper und Erdboden bewirkt.

MV=2mv V=2mv/M

M,V, Masse und Geschwindigkeit der Person
m,v, Masse und Geschwindigkeit der Kugel

Eingesetzt in die Formel für die Steighöhe eines nach oben
geschossenen Objektes:

s=V²/2g
=2(m/M*v)²/g
= 2,6mm

Das ist dann eher der theoretische Maximalwert, wenn die Impulsübertragung unendlich schnell geht. In der Praxis wird die Impulsübertragung aufgrund der elastischen uns plastischen Dehnung des Seiles und des Körpers so lange dauern, daß der Impuls während dieses Vorganges vollständig über die Füsse auf den Boden übertragen werden kann. Die „Steighöhe“ der Person wird also null bleiben.

Jörg

[Oliver_a32c43]

Hallo Jörg,

Ist doch klar dass meine Rechnung nur eine Näherung ist und dass man noch unendlich weiter klugscheißen und rumnörgeln kann…rechne doch mal konkret vor… oder warte, gar nicht so uninteressant, vielleicht so:

P=int (dp/dt-G) dt

Also ich bin schon der Ansicht, dass das Seil die Impulsänderung sofort, also wirklich als Stoß abgibt und wenn man dann für dp/dt=2mv*deltadistribution(t) einsetzt, erhält man:

P=2mv-Gt

V=2vm/M-gt

mit der schon berechneten Steighöhe von 2,6mm.
Das könnte man z.B. mit Kohlenstoffnanoröhrchen verwirklichen.

Das ist aber wie gesagt alles Ansichtssache, offenbar hast du an eine Art Gummiband gedacht. Dann passiert in der Tat nichts.
Einigen wir uns darauf, dass die 2,6 mm für den FAll eines quasi undehnbaren Seils gilt und je nach Dehnbarkeit der Wert bis auf Null runtergehen kann.

Gruß
Oliver

[Joachim_Ring_811042]

Es liegt folgendes Zugrunde:
Man nehme an, ein 80 kg schwerer Mann wird mit einem Seil an
eine Pistolenkugel (ca. 15 Gramm schwer) gebunden. Diese Kugel
wird in eine Pistole bzw Gewehr geladen und abgefeuert (sagen
wir in einem Vakuum auf der Erde -> Erdanziehung).

ok, keine luftreibung, aber gewichtskraft. die ist klein bei der kugel, aber groesser und eine beliebte mechanik-uebungsaufgabe beim seil

Und wenn
die Kugel ihre Höchstgeschwindigkeit erreicht hat (600 m/s),

also genau im moment, wo die kugel den lauf verlaesst. von da an zerren ihre eigene und (im falle eines realen, nicht masselosen seils) die gewichtskraft des seils an ihr und die geschwindigkeit nimmt nur noch ab…

vielleicht sollte man hier die belegung des seils (kg/m, so nannte man die groesse iirc) angeben, und erstmal berechnen, wie weit die kugel + seil ohne mann dran kommt (muendungsenergie und potentielle energie von kugel-seil kombination ansetzen - wie gesagt, nette uebung).

dann erst greift das Seil und der Mann wird von der Wucht
hochgezogen. Jetzt die Frage: Wie Hoch wird dieser Mann
geschleudert?
Die Situation kann es ja praktisch nicht geben, aber
theoretisch kann man das ja errechnen, oder?

hierzu haben ja schon andere was geschrieben. mann muesste halt die muendungsenergie bei hinreichend kurzem seil durch die verbleibende kinetische energie ersetzen…

Mein Schätzung war: 20cm
Mein Kumpel: 2 meter

nun, eure schaetzungen sind ja nur knapp daneben, also weniger als 10 groessenordnungen

joachim, der mal ein klausurergebnis unter zeitdruck beim eintippen in den taschenrechner um immerhin 86 groessenordnungen versemmelt hat…

[Oliver_a32c43]

bleibt nur noch zu sagen

Es geht zwar nicht um viel, aber wenn ich näher dran liege,
würde ich meinen Wetteinsatz mit demjenigen teilen, der das
errechnen kann.

Große Klappe - nichts dahinter!

[Niels_0b4136]

Hallo,

Nein, aufgrund des grossen Massenunterschiedes ist der
Energieübertrag ungefähr 0. Es reicht somit näherungsweise
ganz gut einfach den maximalen Impulsübertrag anzunehmen, der
eben 2 mal dem Impuls der Kugel ist. (Umkehr entspricht 2mal
Imupls)

das trifft nur auf eine ideal elastische Kraftübertragung zu. Dabei gilt für die mechanische Seite der Energieerhaltungssatz und der Impulserhaltungssatz. Bei einem unelastischen Stoß gilt der EES nicht (bei der Betrachtung der reinen Mechanik). Die Kugel ändert dann ihren Impuls nicht um Faktor -2.

Gruss, Niels

[Niels_0b4136]

Hallo,

ausser bei einer Antwort wurde bei alle bisherigen Betrachtungen die Dauer der Kraftübertragung ausser Acht gelassen. Das ist aber

entscheidend dafür, ob der Mann sich überhaupt vom Boden entfernt!

Wir haben bereits gesehen, dass die Impulsänderung im Falle eines ideal elastischen Stoßes gleich dem 2fachen Kugelimpuls ist.

Im Beispiel ist der Impuls 0,015 kg * 600 m/s = 9 kg*m/s

um die Gewichtskraft des Mannes aufzuheben bedarf es einer Kraft von 80 kg * 9,8 m/s^2 = 784 N

Die Änderung des Impulses ist gleich der Kraft mal der Einwirkungsdauer:

dp = F * dt

im Beispiel:

dt = (9 kg * m/s) / (784 N) = 11,5 ms

Also: nur wenn die Kraftübertragung innerhalb einer kürzeren Zeit als 11,4 ms stattfindet, wird der Mann überhaupt angehoben.
Selbst wenn es derart unelastische (und unplastische) Seilmaterialien geben mag, so muss das Seil am Mann befestigt werden.
Das Weichteilgewebe des Mannes ist aber in hohem Maße verformbar, so dass die Kraftmöglicherweise nicht ausreichen wird.

Gehen wir mal davon aus, dass die Kugel auf einer Strecke von 7cm gleichmäßig auf 0 abgebremst wird, so ergibt sich als Kraft:

F = m * a mit a = dv^2 / 2ds

F = 0,015 kg * (600 * 600 m^2/s^2) / 0,14 m

F = 38.600 N

Das sollte eigentlich reichen, um den Mann von den Beinen zu lupfen. Es muss aber ein Seilmaterial benutzt werden, das diese knapp 4

Tonnen äquivalente Kraft aufbringen kann (womit sich wieder zusätzliche Masseeffekte ergeben, da das Seilende sich ja mit der

gleichen Geschwindigkeit wie die Kugel bewegen und anschließend abgebremst werden muss).

Gruss, Niels

[Joerg_Rehrmann]

Hallo Oliver,

Ist doch klar dass meine Rechnung nur eine Näherung ist und
dass man noch unendlich weiter klugscheißen und rumnörgeln
kann…

Wenn Du bei der Näherung wesentliche oder dominante Störgrößen vernachlässigst, sollte das Nörgeln schon erlaubt sein. Jedenfalls hier im Brett Mathe/Physik.

rechne doch mal konkret vor…

ist leider nicht so einfach, weil die Elastizität der Aufhängung des Seiles am Körper nicht bekannt ist.

mit der schon berechneten Steighöhe von 2,6mm.
Das könnte man z.B. mit Kohlenstoffnanoröhrchen verwirklichen.

Der menschliche Körper besteht aber definitiv nicht aus Kohlenstoffnanoröhrchen sondern aus einer schwabbeligen Masse, die mit ein paar Knochen verstärkt ist.

Das ist aber wie gesagt alles Ansichtssache, offenbar hast du
an eine Art Gummiband gedacht.

Eigentlich nicht. Ich habe einfach nur an die praktische Ausführung des beschriebenen Versuches gedacht. Da halte ich auch die Impulsverdopplung durch die Richtungsumkehr des Projektiles für eher unwahrscheinlich.

Dann passiert in der Tat
nichts.
Einigen wir uns darauf, dass die 2,6 mm für den FAll eines
quasi undehnbaren Seils gilt und je nach Dehnbarkeit der Wert
bis auf Null runtergehen kann.

Na gut, wenn der Mensch durch einen 80-kg-Stahlklotz ersetzt wird, bin ich einverstanden

Jörg

[Oliver_a32c43]

Hallo Jörg,

rechne doch mal konkret vor…

ist leider nicht so einfach, weil die Elastizität der
Aufhängung des Seiles am Körper nicht bekannt ist.

Schlechte Ausrede. Na dann lass die doch als Varible in der
Gleichung stehen oder mach ne Vernünftige Schätzung. Die
anderen Größen waren ja auch nur Schätzungen.

mit der schon berechneten Steighöhe von 2,6mm.
Das könnte man z.B. mit Kohlenstoffnanoröhrchen verwirklichen.

Der menschliche Körper besteht aber definitiv nicht aus
Kohlenstoffnanoröhrchen sondern aus einer schwabbeligen Masse,
die mit ein paar Knochen verstärkt ist.

Wenn das Seil direkt am Körper befestigt wäre, könnte man sich
böse Schnittverletzungen einfangen, wird also sowieso nicht der
Fall sein. Aber man könnte die gesamte Person in eine starre
Aufhängung packen, dann klappt’s.

Das ist aber wie gesagt alles Ansichtssache, offenbar hast du
an eine Art Gummiband gedacht.

Eigentlich nicht. Ich habe einfach nur an die praktische
Ausführung des beschriebenen Versuches gedacht. Da halte ich
auch die Impulsverdopplung durch die Richtungsumkehr des
Projektiles für eher unwahrscheinlich.

Der Impuls verdoppelt sich auf alle Fälle, die Frage ist nur
wieviel Kraft während der Impulsverdopplung nach abzug der
Gewichtskraft auf die Person übertragen wird.

Na gut, wenn der Mensch durch einen 80-kg-Stahlklotz ersetzt
wird, bin ich einverstanden

Wie gesagt, man mauss der Seil ja nicht direkt um den Hals
binden…

Gruß
Oliver

[der_halt]

Hi,

Nein, aufgrund des grossen Massenunterschiedes ist der
Energieübertrag ungefähr 0. Es reicht somit näherungsweise
ganz gut einfach den maximalen Impulsübertrag anzunehmen, der
eben 2 mal dem Impuls der Kugel ist. (Umkehr entspricht 2mal
Imupls)

das trifft nur auf eine ideal elastische Kraftübertragung zu.
Dabei gilt für die mechanische Seite der Energieerhaltungssatz
und der Impulserhaltungssatz. Bei einem unelastischen Stoß
gilt der EES nicht (bei der Betrachtung der reinen Mechanik).
Die Kugel ändert dann ihren Impuls nicht um Faktor -2.

Wie gesagt ändert sich auch bei einem elastischen Stoss der Impuls nicht um einen Faktor -2. Aber für eine Abschätzung reicht es - va weil die anderen Grössen eine so grosse Variabilität aufweisen…

Ehrlich gesagt weiss ich nicht genau was Du mit mechanischer Seite meinst. Energieerhaltung und Impulserhaltung gelten immer gleich. Die Frage ist nur welche Terme man zu brücksichtigen hat (bzw. welche man 0 setzen darf). Das ändert sich - die Sätze nicht

Und als Abschätzung für einen Maximalwert taugt der elastische Fall. Und mehr war nicht gefragt. (Physiker halt )

ciao
ralf

[der_halt]

Hallo,

Ist doch klar dass meine Rechnung nur eine Näherung ist und
dass man noch unendlich weiter klugscheißen und rumnörgeln
kann…

Wenn Du bei der Näherung wesentliche oder dominante Störgrößen
vernachlässigst, sollte das Nörgeln schon erlaubt sein.
Jedenfalls hier im Brett Mathe/Physik.

Nein weil es für eine Grössenabschätzung vernachlässigbar ist. In dem Fall hier reicht diese Abschätzung. Wäre das Ergebnis irgendwo im Bereich der bei der Wette geschätzten Grössen gewesen, dann hätte man weiter rechnen müssen.
Aber für diese Aufgabenstellung war das einfachste Modell durchaus ausreichend

rechne doch mal konkret vor…

ist leider nicht so einfach, weil die Elastizität der
Aufhängung des Seiles am Körper nicht bekannt ist.

Faule Ausrede. Such Dir eine Tabelle für typische Materialien. Setz sie ein und liefer uns ein paar Werte

Das ist aber wie gesagt alles Ansichtssache, offenbar hast du
an eine Art Gummiband gedacht.

Eigentlich nicht. Ich habe einfach nur an die praktische
Ausführung des beschriebenen Versuches gedacht. Da halte ich
auch die Impulsverdopplung durch die Richtungsumkehr des
Projektiles für eher unwahrscheinlich.

Praktische Ausführung?! Ingenieure… tstss…

ciao
ralf