Hey,
kann man, wenn man zB das hat:
xn+1 = xn-1 + 4
dem ansehen, dass es gegen eine Zahl konvergiert? Oder errechnen, ohne die Iteration durchzuführen?
Denn es geht ja definitiv nicht bei allen so. Daher würde ich gerne wissen, wieso dies auf eine Zahl hinausläuft.
Danke!
Lars
Hallo.
kann man, wenn man zB das hat:
xn+1 = xn-1 + 4
dem ansehen, dass es gegen eine Zahl konvergiert?
Vielleicht.
Aber in der Numerik errechnet man die sog. Konvergenzordnung über die Ableitungen der beteiligen Funktionen: wenn diese ab einer best. Ableitung (nicht ?) Null wird, hat man die Konvergenzordnung.
Oder
errechnen, ohne die Iteration durchzuführen?
Denn es geht ja definitiv nicht bei allen so. Daher würde ich
gerne wissen, wieso dies auf eine Zahl hinausläuft.
Dazu gibt man z.B. einen Startwert vor und lässt den Rechner arbeiten.
mfg M.L.
Hallo.
kann man, wenn man zB das hat:
xn+1 = xn-1 + 4
dem ansehen, dass es gegen eine Zahl konvergiert?
Man kann zumindest leicht sagen gegen welche Zahl es konvergiert wenn es überhaupt konvergiert.
Wenn nämlich xn+1 für n gegen unendlich gegen einen Grenzwert x strebt dann strebt xn natürlich gegen den gleichen Grenzwert x, und man erhält
x=x-1+4, also x2-1-4x=0.
Um zu überprüfen ob eine Folge konvergiert gibt es verschiedene sogenannte Kriterien, z.B. Cauchykriterium, Leibnitzkriterium, Majorantenkriterium, usw.
Bei diesem Beispiel hilft das Quotientenkriterim. Wenn der Betrag des Quotienten xn+1/xn ab einem bestimmten Index immer kleiner als 1 bleibt dann konvergiert die Folge.
Der Quotient ist hier (1+4xn)/xn2.
Würde die Folge nicht konvergieren dann würde xn gegen unendlich streben, was aber bedeuten würde, dass der Quotient gegen 0 streben würde, insbesondere wäre er also irgendwann betragsmäßig kleiner als 1, d.h. die Folge konvergiert.
Das war ein bisschen schlampig, normalerweise müsste man noch ausschließen, dass die Folge mehrere Häufungspunkte hat, aber die Idee ist denk ich angekommen. Ich hoffe das hilft.
hendrik
Banachscher Fixpunktsatz
Hallo Lars,
kann man, wenn man zB das hat:
xn+1 = xn-1 + 4
dem ansehen, dass es gegen eine Zahl konvergiert? Oder
errechnen, ohne die Iteration durchzuführen?
Denn es geht ja definitiv nicht bei allen so. Daher würde ich
gerne wissen, wieso dies auf eine Zahl hinausläuft.
das Stichwort was du hier brauchst ist „Banachscher Fixpunktsatz“, bzw seine Voraussetzungen.
Als erstes brauchst du ein abgeschlossenes Intervall [a,b]; abgeschlossen muss es sein, da theoretisch eine deiner Intervallgrenzen Lösung sein könnte und diese in deinem Intervall sein muss.
Desweiteren muss deine Funktion Lipschitzstetig mit einer Lipschitzkonstanten betragsmäßig echt kleiner als 1 sein (das sorgt für die Kontraktion). Lipschitzstetig mit Lipschitzkonstante L bedeutet
|f(x)-f(y)| für
x,y aus [a,b]
Die Lipschitzstetigkeit ist zwischen der Stetigkeit und der Differenzierbarkeit einzuordnen, d.h. die Differenzierbarkeit ist eine stärkere und leichter zu verifizierende Bedingung. Deshalb wird sie in der Praxis gerne verwendet.
Die vorgehensweise ist recht simpel, man leitet die Funktion ab und setzt die Intervallsgrenzen ein, kommen dann Werte zwischen 0 und 1 raus (echt kleiner 1) dann erhälst du mit deiner Iteration eine Lösung. Allerdings sollte die Funktion auf diesem Intervall keine "zicken" machen.
Wenn du hier mal eine Weile (min eine Stunde) drüber nachdenkst, dann wirst du das vielleicht sehen. Noch als Tip: Wenn du bei der Lipschitzbedingung durch |x-y| teilst, dann steht der Differenzenquotient da (deswegen die Ableitung kleiner 1).
Falls was nicht klar ist, melden.
Gruss x303
PS: Ich hoffe ich habe nix vergessen.