Bovor es jemand falsch versteht: Das Trägheitsmoment ist nicht
(weder vom Zahlenwert noch von der Einheit) die Masse, aber es hat die
gleiche Bedeutung i.S.v. F=m*a oder so 
Hallo,
Einsetzten ergibt dann l*m*g*sin(phi) = J * omega_punkt ,
einmal hochintegrieren und fertig …
schön wär’s. DGen vom Typ x’’ + k sin(x) = 0 sind leider keiner analytischen Lösung zugänglich. Sie führen auf ein Integral aus der Klasse der sogenannten elliptischen Integrale, die nicht elementar lösbar sind.
Es gibt übrigens noch einen dritten Lösungsansatz, denn man kann die DG auch einfach über den Energiesatz herleiten.
Der ES lautet
W_{\rm pot}(\varphi_0) + W_{\rm kin}(\varphi_0)
= W_{\rm pot}(\varphi) + W_{\rm kin}(\varphi)
(mit φ0 = φ(0) = der „Startwinkel“ des Baums zum Zeitpunkt t = 0) und nimmt für einen Baum mit Schwerpunkt auf halber Höhe (l/2) die Form
0 + m g \frac{l}{2} \cos\varphi_0
= \frac{1}{2} J \dot{\varphi}^2 + m g \frac{l}{2} \cos\varphi
an, oder dazu äquivalent
\dot{\varphi}^2
= \frac{m g l}{J} (\cos\varphi_0 - \cos\varphi)
Leitet man diese Gleichung jetzt tricky einmal zeitlich ab, bekommt man
2\dot{\varphi}\ddot{\varphi}
= \frac{m g l}{J} \sin\varphi \dot{\varphi}
und nach Kürzen von φ’ steht die Bewegungsgleichung da:
\ddot{\varphi} - \frac{m g l}{2J} \sin\varphi = 0
\quad\quad[\ast]
Hat der fallende Baum also gerade die Winkelstellung φ erreicht, fällt er in diesem Moment
\omega = \sqrt{\frac{m g l}{J} (\cos\varphi_0 - \cos\varphi)}
schnell und wird
\alpha = \frac{m g l}{2J} \sin\varphi
stark winkelbeschleunigt. Damit muss man sich zufriedengeben. Die zeitlichen Funktionen φ(t), ω(t) und α(t) kannt man nicht berechnen, denn dazu müsste man ja die Bewegungsgleichung [*] integrieren.
Gruß
Martin
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Allerdings müsste man bei deiner Betrachtungsweise noch die
Zentrifugalkraft abziehen um die Kraft auszurechnen zu können,
die dann zur letztendlichen Beschleunigung führt. DAS wäre
dann wieder die Erdbeschleunigung
Wieso Du jetzt noch eine Scheinkraft (Zentrifugalkraft) einführen willst ist mir schleierhaft. Es genügt die Betrachtung des Trägheitsmoments des Baums in Bezug auf den Drehpunkt (die Schnittstelle) und das durch die Gewichtskraft entstehende Drehmoment. Dieses Drehmoment variiert entsprechend des Winkels, um den sich der Braum geneigt hat.
Der Baum wird aber nicht in Bewegungsrichtung konstant
beschleunigt, sondern konstant Richtung Erdmittelpunkt. Nur
darauf bezog sich mein o.g. Aussage.
Das ist falsch. Du hast es immer noch nicht verstanden. Wenn er konstant Richtung Erdmittelpunkt beschleunigt würde, würde er sich in die Erde bohren.
Konstant Richtung Erdmittelpunkt wirkt die Gewichtskraft des Baumes. Diese kann in zwei Komponenten zerlegt werden. Eine entlang der Baumachse (bei einem idealisiert zylindrischen Baum). Dies hat keine Beschleunigung zur Folge, da im Aufstandspunkt die Erdoberfläche (bzw der Baumstumpf) die Gegenkraft aufbringt.
Die zweite Komponente steht senkrecht zur Baumachse nach unten gerichtet (aber nicht zum Erdmittelpunkt außer bei Winkel 90°). Gegenkraft ist hier die Trägheitskraft. Diese Komponente bewirkt das Drehmoment, welches letztendlich zur Winkelbeschleunigung führt. Diese Beschleunigung ist also nicht konstant sondern ändert sich mit dem Winkel um den der Baum gekippt ist.
OK. Ich ging davon aus, dass man auch die Beschleunigung
vektoriell zerlegen kann.
prinzipiell kann man beschleunigungen auch vektoriell zerlegen. Dann muss aber auch eine Beschleunigung existieren. Eine Beschleunigung ist immer die Beschreibung einer realen Geschwindigkeitsänderung. Die Erdbeschleunigung ist die Beschreibung eines Körpers im freien Fall auf der Erde. Der Baum fällt aber nicht frei.
Mag sein, dass das nicht geht oder
mathematisch keinen Sinn ergibt. Für die Vorstellung wie so
ein Baum umfällt spielt das sicher eine kleinere Rolle.
Als Trost für Dich: Wenn Du so rechnest, wie Du Dir das vorstellst, dürfte trotzdem das richtige Ergebnis rauskommen. Ich habe aber die Erfahrung gemacht, dass man mit solchen falschen „Modellen“ irgendwann in eine Sackgasse gerät, auch wenn es einem im Moment plausibel vorkommt.
Gruß, Niels