Hallo,
ich habe hier 20 Punkte, und aus einer graphischen Darstellung sieht es aus als laegen diese auf einen Kreisauschnitt. Nun moechte ich den Radius und die Lage des Mittelpunktess ausrechnen. Ich tuh das nun mit Excel, wobei ich VBA lasse alle moeglihe Positionen durchzulaufen bis alles mit kleinster Toleranz gut genug liegen. Das dauert eine kleine Ewigkeit, und frage mich ob es mathematisch eine schnellere Methode gibt.
Danke, CD
Hallo,
wenn die Punkte auf einem Kreisausschnitt liegen, dann kannst du doch einfach 2 Radien bestimmen; wo die sich schneiden, ist der Mittelpunkt.
Einen Radius bestimmst du, indem du die Mittelsenkrechte zweier beliebiger Punkte berechnest.
Dazu braucht man nichtmal VBA zu bemühen und die Rechnung ist in Mikrosekunden erledigt.
VG
Jochen
Hallo,
Vielleicht koennt ihr mich weiterhelfen. Ich muss das im Excel machen, da diese Punkte Resultate anderer Berechnungen sind, die sich dauernd aendern.
Hier sind drei charakteristische Punkte.
x,y
-96,9615506 72,34383155
-100 55
-96,9615506 37,61419601
Ich versuche es nach der Formel Y1x=r*cos(x1)+bx, Y1y=r*sin(x1)+by zu ermitteln, aber irgendwie schaffe ich es nicht. Gesucht sind r und bx, by.
Und eine zweite Frage. Falls ich die Gleichung fuer die Linie P1P2 habe und den Mittelpunkt, wie kippe ich sie um 90 Grad.
Vielleicht ist das aber kein Kreis sondern eine Ellipse. Gilt die gleiche Regel auch fuer die Ellipse?
Danke, CD
… oben wird auch was zum Excel Add-In „Solver“ gesagt
Roland
Hossa 
ich habe hier 20 Punkte, und aus einer graphischen
Darstellung sieht es aus als laegen diese auf einen
Kreisauschnitt. Nun moechte ich den Radius und die Lage des
Mittelpunktess ausrechnen.
Die Schwierigkeit liegt in der Berechnung des Kreismittelpunktes M. Der Radius deines Kreises sei R und der Mittelpunkt sei M(xm|ym). Dann erfüllt jeder Punkt (x|y) auf dem Kreis die Kreisgleichung:
R^2=(x-x_m)^2+(y-y_m)^2
Wenn man die zweite binomische Formel anwendet, kann man die Klammern rechts auflösen:
R^2=x^2-2xx_m+x_m^2+y^2-2yy_m+y_m^2
Wir nehmen nun zwei Punkte auf dem Kreisbogen, (x1|y1) und (x2|y2), und schreiben die Kreisgleichung für sie auf:
R^2=x_1^2-2x_1x_m+x_m^2+y_1^2-2y_1y_m+y_m^2
R^2=x_2^2-2x_2x_m+x_m^2+y_2^2-2y_2y_m+y_m^2
Nun kann man die zweite Gleichung von der ersten subtrahieren:
0=x_1^2-x_2^2-2x_1x_m+2x_2x_m+x_m^2-x_m^2+y_1^2-y_2^2-2y_1y_m+2y_2y_m+y_m^2-y_m^2
und vereinfachen:
0=(x_1^2-x_2^2)-2x_m(x_1-x_2)+(y_1^2-y_2^2)-2y_m(y_1-y_2)
2(x_1-x_2)\cdot x_m+2(y_1-y_2)\cdot y_m=(x_1^2-x_2^2)+(y_1^2-y_2^2)
Nimmst du für obige Rechnung anstatt des Punktes (x2|y2) einen dritten Punkt (x3|y3), so erhälst du als Ergebnis nach gleicher Rechnung:
2(x_1-x_3)\cdot x_m+2(y_1-y_3)\cdot y_m=(x_1^2-x_3^2)+(y_1^2-y_3^2)
Zusammenfassend erhälst du also aus 3 Punkten auf dem Kreisbogen die folgenden beiden Gleichungen:
\overbrace{2(x_1-x_2)}^{=A}\cdot x_m+\overbrace{2(y_1-y_2)}^{=B}\cdot y_m=\overbrace{(x_1^2-x_2^2)+(y_1^2-y_2^2)}^{=C}
\underbrace{2(x_1-x_3)}_{=D}\cdot x_m+\underbrace{2(y_1-y_3)}_{=E}\cdot y_m=\underbrace{(x_1^2-x_3^2)+(y_1^2-y_3^2)}_{=F}
Die Werte A, B, C, D, E und F kannst du aus den 3 Punkten in Excel leicht berechnen. Der Mittelpunkt des Kreises folgt nun durch Lösen des linearen Gleichungssystems:
A\cdot x_m+B\cdot y_m=C
D\cdot x_m+E\cdot y_m=F
Die Lösungen dafür sind:
x_m=\frac{\left|\begin{array}{cc}C&B\F&E\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}A&B\D&E\end{array}\right|}=\frac{C\cdot E-B\cdot F}{A\cdot E-B\cdot D}
y_m=\frac{\left|\begin{array}{cc}A&C\D&F\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}A&B\D&E\end{array}\right|}=\frac{A\cdot F-C\cdot D}{A\cdot E-B\cdot D}
Du hast geschrieben, dass du 20 Punkte hast. Also hast du theoreitsch 1140 Möglichkeiten um 3-Punkte-Kombinationen auszuwählen. Ich würde vorschlagen, dass du für 10 oder 20 3-Punkte-Kombinationen jeweils den Mittelpunkt M(xm|ym) berechnest und dann von den xm-Koordinaten und von den ym-Koordinaten jeweils den Mittelwert nimmst. Je mehr 3-Punkte-Kombinationen du wählst, desto genauer sollte dein Ergebnis werden.
Wenn du den Mittelpunkt hast, kannst du den Radius R aus der Kreisgleichung von ganz oben berechnen:
R=\sqrt{(x-x_m)^2+(y-y_m)^2}
Bei 20 Punkten kriegst du theoreitsch 20 Werte für R heraus, die du dann wieder mitteln kannst.
Viele Grüße
Hasenfuß
Hallo,
Vielen Dank fuer diese Antwort, das war eine sehr gute Antwort und nun passt alles gut zusammen.