Mittelpunkt von Strecke

[Paul_6a77cf]

hallo!

Es soll der Mittelpunkt M der Strecke zwischen den Punkten P1(3/0) und P2(7/0) gefunden werden.

Dieser soll laut einem Buch bei Xm=(X1+X2)*0,5 liegen.
Dies leuchtet mit aber grafisch nicht ein. Wenn ich die X-Entfernungen vom Koordinatenursprung addiere und dann von der erhaltenen Strecke die Hälfte abziehe, soll ich zur Mitte der ursprünglichen Strecke gelangen?
Kann vielleicht jemand grafisch/anschaulich zeigen, dass das stimmt?

Denn dass es stimmt, habe ich rechnerisch überprüft:
Die Strecke X=3Xm ist genausogroß wie X=7Xm (weil Xm ja der Mittelpunkt ist)
Es gilt also
Xm-3=7-Xm |+Xm |+3
2*Xm = 10 |/2
Xm = 5

Doch kann ich es mir nicht „vorstellen“ bzw in einer Zeichnung erkennen, dass Xm = (X1+X2)*0,5 ist.

Anmerkung: Ich bezeichne Xm die ganze Zeit als Mittelpunkt, aber Xm ist ja nur die X-Koordinate des Mittelpunktes. Da aber Y=0 habe ich zum besseren sprachlichen Verständnis das so benutzt.

Gruß
Paul

[Lutz_Lehmann]

Hi,

doch, das ist alles so. Und die Y-Koordinaten sind ja beide 0, also auch im Mittelpunkt (0+0)/2=0.

Q-P ist die Verbindungsstrecke von P nach Q=P+(Q-P). Um zum Mittelpunkt zu gelangen, gehst Du nur die Hälfte des Weges bis Q, also

P+1/2*(Q-P)=P+Q/2-P/2=P/2+Q/2=(P+Q)/2.

Und diese Vektorformel überträgt sich auf die X- und Y- und wenn vorhanden auch auf die Z-Komponenten.

Gruß Lutz

[Paradigma]

P1 und P2 legen Vektoren fest
\vec{p_1} und \vec{p_2} sowie den Vektor von P1 zu P2: \vec{p_2} - \vec{p_1}
also

\vec{m} = \vec{p_1} + \frac{1}{2}(\vec{p_2} - \vec{p_1})
daraus folgt die Behauptung

Gruß HW

[emein_b0ba53]

Hallo,

bei allem Respekt vor allen Mathematikern, Analytikern und Geometrikern, die vor mir geantwortet haben – ich hätte mich einfach gefragt, welche Zahl in der Mitte zwischen 3 und 7 liegt.

Gruß

[Paul_6a77cf]

bei allem Respekt vor allen Mathematikern, Analytikern und
Geometrikern, die vor mir geantwortet haben – ich hätte mich
einfach gefragt, welche Zahl in der Mitte zwischen 3 und 7
liegt.

Jo, das ist klar^^
Mir geht es aber um die anschauliche Betrachtung der Vorgehensweise des Buches.
Manchmal ergeben sich ganz neue Sichtweisen, wenn man verschiedene Wege für die Lösung eines Problems kennenlernt.

Gruß
Paul

[Paul_6a77cf]

anschauliches Beispiel
Erst dachte ich, dein Beitrag hätte mir geholfen, da ich durch ihn gesehen habe, dass (P+Q)/2 das gleiche wie P/2+Q/2 ist.
Doch nach kurzem Nachdenken hat mir das immer noch nicht eingeleuchtet.

Ich verstehe den Rechenweg, doch was mir fehlt ist eine anschauliche Bestätigung.
Ich formuliere es einmal so:
Ich möchte den Mittelpunkt zwischen Würzburg und Nürnberg finden.
Wieso finde ich den Mittelpunkt mit folgender Vorgehensweise:

Ich habe insgesamt 5 Autos: Auto A, Auto B und Auto Z stehen in Bonn, Auto C in Würzburg und Auto D in Nürnberg.
Die Kilometerstände aller Autos werden auf null gesetzt.

A und C fahren nun zeitgleich und mit gleicher Geschwindigkeit los: A fährt von Bonn nach Würzburg und C von Würzburg nach Bonn.
Sie treffen sich dann genau auf dem Mittelpunkt zwischen Würzburg und Bonn. Beim Treffen wird der Kilometerstand der beiden Autos notiert.

B und D fahren zeitgleich und mit gleicher Geschwindigkeit los: B von Bonn nach Nürnberg und D von Nürnberg nach Bonn. Sie treffen sich dann genau auf dem Mittelpunkt zwischen Nürnberg und Bonn. Beim Treffen wird wieder der Kilometerstand der beiden Autos notiert.

Nun wird Auto Z angerufen und die notierten Kilometerstände durchgesagt: Z soll solange in Richtung Nürnberg fahren, bis es den notierten Kilometerstand von A erreicht hat. Dann soll Z seinen Kilometerstand auf null setzen und weiter Richtung Nürnberg fahren, bis es den notierten Kilometerstand von B erreicht hat.
Dann wird Z auf dem Mittelpunkt der Strecke zwischen Würzburg und Nürnberg stehen.

Wieso funktioniert das?
Wieso erreicht ein Auto genau die Mitte von Würzburg-Nürnberg, wenn es von Bonn aus (BonnWürzburg)/2 + (BonnNürnberg)/2 fährt?

Gruß
Paul

[www2011_b66936]

Erst dachte ich, dein Beitrag hätte mir geholfen, da ich
durch ihn gesehen habe, dass (P+Q)/2 das gleiche wie P/2+Q/2
ist.

sehr richtig

Doch nach kurzem Nachdenken hat mir das immer noch nicht
eingeleuchtet.

Ich formuliere es einmal so:
Ich möchte den Mittelpunkt zwischen Würzburg und Nürnberg
finden.
Wieso finde ich den Mittelpunkt mit folgender Vorgehensweise:
…
Wieso erreicht ein Auto genau die Mitte von
Würzburg-Nürnberg, wenn es von Bonn aus (BonnWürzburg)/2 +
(BonnNürnberg)/2 fährt?

Findest du nicht! Nehmen wir anstatt Bonn mal Madrid.
Dann würde Auto z, beim 1. Haltepunkt bei Neapel sein und wenn es dann nochmal losfährt irgendwo im Mittelmeer auf dem Weg nach Äqypten. (Also ich vermute mal, dass das etwa hinkommt^^)

DENN: Du fährst insgesamt die halbe Strecke von MN + halbe Strecke MW

Und das Problem dabei ist, dass du die Dimensionen nicht berücksichtigst!

Auf der Karte fährst du 2D und auf der Straße sogar 3D, aber im Kopf versuchst du das auf 1D zu beschränken. Das klappt so nicht :-/

Würdest du zuerst mit einem Flugzeug die Hälfte der Strecke BW fliegen (gerade aus) und dann den Winkel abändern und zwar auf den von BN und nun eine Entfernung fliegen (gerade aus) von BN, DANN würdest du auf der Hälfte von WN ankommen.

Mal dir das am besten mal auf ein wenig Milimeterpapier auf oder wenn du ne alte Karte/Stadtplan zum bekritzeln hast, auch den.
Wichtig ist: mit Geodreieck, denn Winkel und Parallelen darf man nicht vernachlässigen

Viel Erfolg,
www2011

[Paul_6a77cf]

Auf der Karte fährst du 2D und auf der Straße sogar 3D, aber
im Kopf versuchst du das auf 1D zu beschränken. Das klappt so
nicht :-/

Ich habe angenommen, dass Bonn, Würzburg und Nürnberg auf einer Geraden liegen würden.
Dann müsste es ja klappen.
Die theoretische Herleitung verstehe ich. Aber ich begreife es nicht.
Bei komplexeren Sachverhalten brauch man es auch nicht zu „begreifen“ bzw die theoretische Herleitung ist schon das begreifen.
Aber bei einem so einfachen Sachverhalt, um den es hier geht… Da sollte man sich doch sowas auch bildlich vorstellen können…
Nur darum geht es mir hier^^

Gruß
Paul

[www2011_b66936]

achso, ja, dann klappt das schon,
ABER
zuerst muss z die halbe Route von Würzburg nach Bonn fahren und DANN erst Richtung Nürnberg! (und zwar halbe Strecke NB)

Damit kommen wir wieder zu der Gleichung WN/2=NB/2-WB/2.

Der gefahrene Umweg betrüge allerdings die Strecke WB.

[Paul_6a77cf]

zuerst muss z die halbe Route von Würzburg nach Bonn fahren
und DANN erst Richtung Nürnberg! (und zwar halbe Strecke NB)

also da Bonn, Würzburg und Nürnberg auf einer Gerade liegen, fährt man auch von Bonn nach Würzburg in Richtung Nürnberg.

Damit kommen wir wieder zu der Gleichung WN/2=NB/2-WB/2.

Es ist doch P/2 + Q/2.
also auch NB/2 + WB/2

Man fährt von Bonn aus erst die Hälfte von BW und dann die Hälfte von BN und kommt dann am Mittelpunkt von WN raus.
DASS es so ist, weiß ich.
Doch wieso weiß ich nicht^^

Gruß
Paul

[www2011_b66936]

Damit kommen wir wieder zu der Gleichung WN/2=NB/2-WB/2.

Es ist doch P/2 + Q/2.:
also auch NB/2 + WB/2

Ja, von Bonn aus stimmt das.

Doch wieso weiß ich nicht^^

Würde man die Strecke WB an WN dran hängen, hätte man die Strecke WB 2 mal + 1xStrecke NB. Die Hälfte der gesamten Strecke ist auch die Position auf der Hälfte NB. Also Mittelpunkt-Bonn MB=2/2WB + 1/2WN.
da 1/2WN=1/2NB - 1/2WB => MB=2/2WB + 1/2NB - 1/2WB= 1/2NB + 1/2WB

BM= WB + 1/2WN (klar) ==(wollen zeigen dass)== 1/2NB + 1/2WB (wie in der Annahme)
WB + 1/2WN = 1/2NB + 1/2WB |-1/2WB
1/2WB + 1/2WN = 1/2NB | *2
WB + WN = BN

Ich hoffe, das öffnet dir den Knoten

schönen Abend,
www2012

[Paul_6a77cf]

finally

Würde man die Strecke WB an WN dran hängen, hätte man die
Strecke WB 2 mal + 1xStrecke NB. Die Hälfte der gesamten
Strecke ist auch die Position auf der Hälfte NB.

wow, ich habe es schlussendlich begriffen!
danke!

Ich glaube, aber dass du da einige Fehler in den Bezeichnungen gemacht hast.
„Würde man die Strecke WB an NB dran hängen, hätte man die
Strecke WB 2 mal + 1xStrecke WN. Die Hälfte der gesamten
Strecke(NB) ist auch die Position auf der Hälfte WN.“

Ich habs mir grad mal aufgemalt und so macht es für mich Sinn:
WN besteht ja aus WB und WN. Wenn ich also WB und WN addiere, habe ich 2-Mal WB und 1-Mal WN.
Bilde ich davon nun die Hälfte, bleibt 1-Mal WB und die Hälfte von WN übrig. Und fährt man von Bonn aus nach Würzburg und dann nochmal die Hälfte von Würzburg nach Nürnberg, dann kommt man, ÜBERRASCHUNG auf der Hälfte von Würzburg nach Nürnberg an.
lol
Es ist also tatsächlich egal, ob man von Bonn oder sonstwo aus losfährt… Diese Bezugslosigkeit des Ursprungs hatte mich am meisten verwirrt, aber jetzt sehe ich, dass der Ursprung beliebig gewählt werden kann.

nochmal als Gleichungen:
WN=WB+WN
WN+WB=WB+WB+WN
(WB+WB+WN)/2=WB+WN/2
und von Bonn aus bringt einen WB+WN/2 genau nach WN/2

danke!

Gruß
Paul

[Martin]

Hello again…

ich kürze ab: 0 = Bonn, W = Würzburg, N = Nürnberg, und X = die Mitte zwischen W und N. Dann gibt dieses Bild die Sache wieder:

0––––-––––--–--–-–––W––––(X)––--N

Wenn Du jetzt die Städte sauber „halbierst“, liefert das W/2, N/2 und X/2 folgendermaßen:

0–-–––––––|-–|-–|–––W––––(X)––--N
 | X/2 | 
 W/2 N/2

Nun heißt es genau hingucken: Zum einen liegen 0 und X natürlich symmetrisch zu X/2. Andererseits liegen W und N symmetrisch zu X, denn so ist X definiert. Dann liegen aber auch W/2 und N/2 symmetrisch zu X/2. Aus allen Symmetrien zusammen folgt, dass es von N/2 nach X genauso weit ist wie von 0 nach W/2 (angedeutet durch die beiden gepunkteten Pfeile), und damit löst sich das Problem in Wohlgefallen auf:

x - \frac{n}{2} = \frac{w}{2}
\quad\Rightarrow\quad
x = \frac{w + n}{2}

(x = Entfernung 0X, w = Entfernung 0W, n = Entfernung 0N)

Du kannst es Dir alternativ auch erklären, indem Du Dir die Frage stellst, wo Du hinkommst, wenn Du von 0 aus w + n weit nach „rechts“ gehst. Antwort: Du kommst an einem Punkt weit jenseits von N an, und zwar an genau demjenigen Punkt P, welcher der Spiegelpunkt von 0 bezüglich X ist. Zufällig befindet sich (ungefähr) dort tatsächlich auch eine Stadt, nämlich Passau (Deine Wahl der Städte war wirklich gut… *lach*)

0––––-––––--–--–-–––W––––(X)––--N––––-––––--–--–-–––P

Siehst Du, dass w + n = p stimmt? Es stimmt, weil P von N genau so weit entfernt ist wie W von 0: p – n = w. Schuld daran ist natürlich die Symmetrie, die mit P komplett ist: Zum Symmetriezentrum X liegen W und N einerseits, und O und P andererseits jeweils spiegelbildlich zueinander.

x = \frac{p}{2}
\quad\textnormal{und}\quad
p = w + n
\quad\Rightarrow\quad
x = \frac{w + n}{2}

Gruß
Martin

[Hasenfu]

Hossa

Um den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten A(x₁,y₁) und B(x₂,y₂) zu bestimmen, musst du über den Koordinaten-Urpsrung laufen.

Um von A nach B zu gelangen, läufst du zunächst von A zum Urpsrung zurück, das ist der Vektor (-x₁,-y₁). Vom Ursprung läufst du dann zu B, das ist der Vektor (x₂,y₂). Der Vektor von A nach B ist also:

\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a=\binom{x_2}{y_2}-\binom{x_1}{y_1}

Um nun vom Ursprung zum Mittelpunkt M zwischen A und B zu gelangen, gehst du zunächst zum Punkt A, das ist der Vektor (x₁,y₁). Und von da aus die halbe Strecke zum Punkt B, das ist der Vektor von A nach B, also:

\vec m=\vec a+\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{AB}=\binom{x_1}{y_1}+\frac{1}{2}\binom{x_2}{y_2}-\frac{1}{2}\binom{x_1}{y_1}=\frac{1}{2}\cdot\binom{x_1+x_2}{y_1+y_2}

In Worten: Beide x-Werte und beide y-Werte addieren und jeweils halbieren.

Viele Grüße

Hasenfuß