Hallo liebe Experten,
die mittlere Geschwindigkeit durch ein Rohr ist bei laminarer Strömung angeblich 1/2 * vmax!!!
Warum ist es so? Ich habe es über ein Flächenintegral versucht herzuleiten, komme dann aber nicht auf das Ergebnis. Vielleicht kann mir ja hier einer weiterhelfen!
Gruß Sawyer
Geht recht einfach, ich bin jetzt jedoch zu faul alles selber zu
rechnen …
Du weisst, dass das Geschwindigkeitsprofil in einem Rohr die Form
einer Parabel hat, und zwar u® = u_max(1-(r/R)^2) , wobei R der
Rohrradius ist.
Der Volumenstrom berechnet sich zu u_mittel * A.
nun weisst du, dass u_mittel * A = int[u®,dA] ist. Nun musst
du nur noch integrieren (in Zylinderkoordinaten!!!).
Zunächst in der Winkelkoordinate, also von 0 bis 2* pi , dann
in der radialen Koordinate, also von 0 bis R (Rohrradius).
Wenn du in Zylinder/Kugelkoordinaten integrierst, musst du beachten
dass du r*dr integrierst, nicht dr. Die Herleitung erspare ich mir,
da müsst ich auch wieder in Büchern wälzen, da war mal was mit
ner Funktionaldeterminanten und so Käse.
Auf jedenfall musst du dann nur das Integral
int[umax(1-(r/R)^2)*2pi*r,dr] in den Grenzen 0–R auswerten.
Dann steht da :
u_mittel * A = pi * R^2 * Umax/2
A = pi*R^2 , also rauskicken, dann steht da u_mittel = u_max/2.
Ok?
MfG
Super Diggi,
danke!