Hallo
auch wenn peinlich, folgende Frage:
[1] Der arithmetische Mittelwert ist eine Integration über eine Anzahl von Werten?
Wenn [1] stimmt und die Integration über stochastische Werte genauer über Kauerformel oder Simsonsche Formel erfolgt, warum macht man das nicht?
Okey, die zweite Frage ist evtl. vollkommen überflüssig, weil Mittelwertbildung viel einfacher ist. Jedoch: bringe ich hier zwei Dinge zusammen, die überhaupt nichts miteinander gemein haben?
Danke für eure Antworten.
GFL
Hallo
So weit ich weiß ist der arithmetische Mittelwert nichts weiter als alle Werte addiert und durch ihre Anzahl geteilt.
Gruß
Micha
Durchschnittshöhe
Hallo, Gertfried und Micha!
Ich habe zwar keine Ahnung von Kauer und der Simpsonschen Regel, aber weiß wie man Michas Bemerkung „einordnet“:
Wie hoch/breit ist das Rechteck (mit Länge auf der x-Achse), das den gleichen Inhalt hat wie eine die Fläche unter der Funktions-Kurve?
Das ict ja die Frage nach der „durchschnittlichen Höhe“, das Ergebnis ergibt sich also als Quotient der Gesamtfläche durch die Ordinatenlänge x.
Das ist ja nur kein Mittelwert von endlich vielen Werten, sondern derjenige der „infinitesimalen“, also unendlichen „Flächendifferentiale“.
Das bestimmte Integral ist ja „nur“ die symbolische Zusammenzählen der unendlich vielen unendlich kleinen, nur etwas konkretes darstellenden (Flächen)Differentiale.
Diese nur symbolische Addition läßt sich aber meist in eine Formel „gießen“, und damit durch Limesbildung der Flächeninhalt „unter der Kurve“ bestimmen.
Zum Bleistift der Mittelwert der "natürlichen Zahlenfolge m von 1 bis n: Die Summe ist ja (n/2)*(n+1),
{also ja der Mittelwert (n/2)*(n+1)/n = (n+1)/2}, also
S = n^2/2 + n/2.
Will man nun zB die Fläche unter der Geraden y = x, also der Diagonalen, bestimmen, und zwar zunächst x von 0 bis X, dann zerlegt man sie in Teile (Rechtecke) mit gleicher Breite deltax = X/n und den jeweiligen Längen (nach oben) (k/n)*X, ähnlich den kten Stufen einer Treppe mit n Stufen insgesamt. Die Fläche unter diesen Stufen ist also Summe{deltax*(k/n)*X},0
Mittelwerte und Integration
Für den Mittelwert gibt es außer der Standarddefinition additiver Mittelung noch andere Definitionen, so den Begriff des geometrischen Mittelwerts, der durch Multiplikation aller Einzelwerte mit anschließender Wurzelbildung nach Anzahl der Werte gebildet wird.
Die Integration stellt im Wesentlichen nicht viel mehr als eine Verstetigung der Aufsummierung von durchnummerierten Funktionswerten dar. Da aber dies je nach gegebener zu integrierender Funktion sehr unterschiedlich zu berechnen ist, stellt die Integralrechnung schon eine Wissenschaft für sich dar mit vielen Spezialisierungen und Andwendungsvarianten ja nach technischem Hintergrund und sinnvollen Definitionen.
Um bei der Mittelwertbildung zu bleiben, ist zu erwähnen, das die Integration oft zur Aufaddierung über Bereiche einer stetigen Wahrscheinlichkeitsdichte benutzt wird, womit dann auch gewisse Gewichtungen berechnet werden.
Gerald