Betrachtet man den Bernoulli-Versuch b(20,0.3,k) so ist der Erwartungswert ja µ=6. Bei b(20,0.3,6) gibt es aber auch die höchste Einzelwahrscheinlichkeit, wieso ist das so?
Hi, Benjamin!
Betrachtet man den Bernoulli-Versuch b(20,0.3,k) so ist der
Erwartungswert ja µ=6. Bei b(20,0.3,6) gibt es aber auch die
höchste Einzelwahrscheinlichkeit, wieso ist das so?
Warum „aber“? Warum sollte dem nicht so sein? Was spricht Deiner Meinung nach dagegen?
Deine Frage ist, glaub ich, nicht ganz verständlich, ich hoffe, meine Antwort hilft trotzdem ein bißchen. Wenn nicht, dann bitte nachfragen, okay?
Also die Wahrscheinlichkeit bei einem Bernoulli-Versuch (oder binomial-verteilten Versuch) ist ja:
B(n,p;k) = (n über k) p^k (1-p)^(n-k),
wenn dabei p die Wahrscheinlichkeit dafür ist, „Erfolg“ zu haben.
Der Erwartungswert (oder Mittelwert) ist (in diesem Fall) nun:
EX = Summe ( k=0 bis n; k * B(n,p;k) )
= …
= n*p
Wie Du siehst, wird bei der Berechnung des Erwartungswertes dasjenige k an stärksten in der Summe gewichtet, dessen Einzelwahrscheinlichkeit (also B(n,p;k)) am größten ist.
Es ist also durchaus „verständlich“, daß der Erwartungswert - sagen wir’s mal etwas unsauber - in der Nähe desjenigen k liegt, das die größte Einzelwahrscheinlichkeit hat, oder?
Grüße,
Frank.
Benjamin: Eine Frage noch…
Frank ,vielen Dank für Deine schnelle Beantwortung.
Ich hab noch ein kleines Problem mit deinen Ausführungen. In der Schule Jahrgangsstufe 13 Mathe Lk haben wir den Erwartungswert bei Bernoulli-Versuchen wie folgt hergeleitet, wir haben nämlich gesagt, die Chance für einen Treffer bei einem Versuch ist p, das multipliziert man mit n-Versuchen und man hat den Erwartungswert. Du hast Dich ja bei Deiner Herleitung an der Definition des Mittelwertes orientiert. Das ist mir einsichtiger. Mich würde es sehr interessieren jedoch, wie man von EX = Summe ( k=0 bis n; k * B(n,p;k) )
nach = n*p kommt?
Ferner schreibst Du „Wie Du siehst, wird bei der Berechnung des Erwartungswertes dasjenige k an stärksten in der Summe gewichtet, dessen Einzelwahrscheinlichkeit (also B(n,p;k)) am größten ist.“
Kann man das so verstehen,dass in der Nähe des Erwartungswertes hier p*k am höchsten ist? Worauf ich hinaus will: Hat man einen Bernoulli-Versuch mit 100 Durchführungen, so steigt ja jedesmal k an, und k* b(n,p,k) würde ja auch erhöht werden. Ist die Erklärung jetzt einfach zu sagen, dass die Wahrscheinlichkeit b(n,p,k), für den Fall k= eine große Zahl weit vom Erwartungswert weg, so gering ist, das damit auch das Produkt k*b(n,p,k) nicht ins Gewicht fällt?
Hallo, Benjamin!
Frank ,vielen Dank für Deine schnelle Beantwortung.
Ich hab noch ein kleines Problem mit deinen Ausführungen. In
der Schule Jahrgangsstufe 13 Mathe Lk haben wir den
Erwartungswert bei Bernoulli-Versuchen wie folgt hergeleitet,
wir haben nämlich gesagt, die Chance für einen Treffer bei
einem Versuch ist p, das multipliziert man mit n-Versuchen und
man hat den Erwartungswert.
Okay, das hat auch seine Richtigkeit. Das bezieht sich eben darauf, daß ein Bernoulli-Experiment eine Folge von (unabhängigen) Versuchen bei denen „unfaire Münze“ geworfen wird. (Unfair, wenn p1/2:wink:
Du hast Dich ja bei Deiner
Herleitung an der Definition des Mittelwertes orientiert.
So definiert man allgemein den Erwartungswert einer (diskreten) „Verteilung“.
Erwartungswert = Summe (über alle möglichen Ausgänge k) [k * Wahrsch. von k]
Das
ist mir einsichtiger. Mich würde es sehr interessieren jedoch,
wie man von EX = Summe ( k=0 bis n; k * B(n,p;k) )
nach = n*p kommt?
Okay, das ist aber ein bißchen tricky. Falls Du es nicht verstehst, dann mail’ mir einfach, dann schicke ich es Dir in einem lesbareren Format, z.B. PS.
Ich verwende: Summe(k,0,n; a_k )
Soll heißen: Summe über k, wobei k von 0 bis n läuft und jeweils der Term a_k aufsummiert wird.
Außerdem lasse ich ab und an vielleicht das *-Zeichen aus Übersichtlichkeitsgründen weg.
Dann haben wir:
EX=Summe(k,0,n; k*B(n,p;k) )
=Summe(k,1,n; k*B(n,p;k) )
[Weil man den Term, der mit k=0 multipliziert wird, auch weglassen kann.]
=Summe(k,1,n; k (n über k) p^k (1-p)^(n-k) )
=Summe(k,1,n; k n! / k! / (n-k)! p^k (1-p)^(n-k) )
=Summe(k,1,n; n (n-1)! / (k-1)! / (n-1-k+1)! p*p^(k-1) (1-p)^(n-1-k+1) )
=n*p*Summe(k,1,n; (n-1)! / (k-1)! / (n-1-(k-1))! p^(k-1)
(1-p)^(n-1-(k-1)) )
=n*p*Summe(m,0,n-1; (n-1)! / m! / (n-1-m)! p^m (1-p)^(n-1-m) )
[Habe eine Indexverschiebung: m := k-1 gemacht.]
=n*p*Summe(m,0,n-1; (n-1 über m) p^m (1-p)^(n-1-m) )
=n*p*(p + 1-p)^(n-1)
[Das gilt nach binomischem Satz.]
=n*p*1^(n-1)
=n*p.
Ferner schreibst Du „Wie Du siehst, wird bei der Berechnung
des Erwartungswertes dasjenige k an stärksten in der Summe
gewichtet, dessen Einzelwahrscheinlichkeit (also B(n,p;k)) am
größten ist.“
Okay, das ist zugegeben etwas weich. Aber das kann ich nicht sauberer sagen, ohne weiter auszuholen.
Vorschlag: Laß Dir mal die Wahrscheinlichkeiten (k=0, …, n) graphisch ausgeben (Computer). Dann spiel’ mal mit p und n rum.
Oder besser ist es vielleicht auch eine andere Verteilung zu betrachten. Habt Ihr Euch auch mit der Poisson-Verteilung beschäftigt? Wenn ja, dann versuche doch mal, mittels obiger Defintion den Erwartungswert auszurechnen und guck Dir mal an, wie sich das zu den Einzelwahrscheinlichkeiten verhält.
Das ist vielleicht eher suggestiv als bei der Binomialverteilung (da ist alles viel zu schön symmetrisch).
Kann man das so verstehen,dass in der Nähe des
Erwartungswertes hier p*k am höchsten ist?
Warum p^k? Die Wahrscheinlichkeit ist doch (n über k)*… ?
Worauf ich hinaus
will: Hat man einen Bernoulli-Versuch mit 100 Durchführungen,
so steigt ja jedesmal k an, und k* b(n,p,k) würde ja auch
erhöht werden. Ist die Erklärung jetzt einfach zu sagen, dass
die Wahrscheinlichkeit b(n,p,k), für den Fall k= eine große
Zahl weit vom Erwartungswert weg, so gering ist, das damit
auch das Produkt k*b(n,p,k) nicht ins Gewicht fällt?
So etwa. Wie gesagt: am besten mal graphisch anschauen. Vielleicht die Vorstellung von Gewichten auch ganz günstig:
Du multiplizierst jedes k mit einem Gewicht, nämlich der Wahrscheinlichkeit, daß {k} eintritt. Dann summierst Du alles auf und hast den Erwartungswert.
Am besten auch mal mit den anderen Verteilungen rumspielen, die Ihr so hattet. Z.B. den Erwartungswert beim Würfeln ausrechnen.
Stetige Verteilungen (Normalverteilung, Exponentialverteilung, o.ä.) hattet Ihr nicht, oder?
Viel Spaß beim Würfeln und Münzen werfen, mail mich an, wenn Du Fragen hast,
Frank.
Vielen Dank!
Vielen Dank für die Hilfe!
Benjamin