MO, 11. Klasse, 6. Aufgabe

Freizeit & Hobby Rätsel
1

Man finde unendlich viele natürliche Zahlen z, die sich nicht als

z=2k+3m+5n

mit natürlichen k,m,n schreiben lassen.

Lutz

2

Mit Null oder ohne???
Wenn „natürlich“ „größer als Null“ impliziert, dann erscheint es mir für Klasse 11 ein bisschen einfach.
Wenn k=0 sein darf, dann muss ich nochmal nachdenken …

3

Wenn „natürlich“ „größer als Null“
impliziert, dann erscheint es mir für
Klasse 11 ein bisschen einfach.
Wenn k=0 sein darf, dann muss ich nochmal
nachdenken …

Wie einfach? In der Originalaufgabenstellung steht nichtnegative ganze Zahlen.

Lutz

4

Wie einfach? In der
Originalaufgabenstellung steht
nichtnegative ganze Zahlen.

Mistmistmist. Null ist nichtnegativ. Und ZweiHochNull ist die einzige ungerade Zweierpotenz, die versaut mir alles.
Sonst wäre es so schön einfach:
5^n ist ungerade, 3^m dito, und wenn jetzt k>0 wäre, wäre 2^k immer gerade, die Summe also auch. Bleiben alle ungeraden Zahlen übrig.

Aber so solls ja wohl doch nicht sein???

5

Dann eben mit Null

Man finde unendlich viele natürliche
Zahlen z, die sich nicht als

z=2k+3m+5n

mit natürlichen k,m,n schreiben lassen.

Nehmen wir doch die Menge aller z mit z=30*j+1, also 31, 61, 91 …

Angenommen es gibt k,m,n mit 30*j+1 = 2k+3m+5n
.
Da 3m+5n immer gerade ist, muss, da z ungerade ist, schonmal k = 0 sein.

Also 30*j = 3m+5n

30 * j ist insbesondere durch drei teilbar, 5n ist das nicht, 3m ist es für m > 0. 3m+5n ist also allenfalls dann durch 3 teilbar, wenn m=0 ist.

Analog folgern wir, dass n=0 ist und kriegen
30*j = 1+1 = 2.

Widerspruch. Ufff. Geschafft.
(*SchweißVonDerStirnWisch*)
Wieviel Zeit hat eigentlich ein Elftklässler für so eine Aufgabe?

6

richtig

Nehmen wir doch die Menge aller z mit
z=30*j+1, also 31, 61, 91 …

Sieht gut aus. Der Lösungsvorschlag geht mit 60j+19 und ist etwas komplizierter.

Widerspruch. Ufff. Geschafft.
(*SchweißVonDerStirnWisch*)
Wieviel Zeit hat eigentlich ein
Elftklässler für so eine Aufgabe?

4 Stunden für drei Aufgaben, und das an zwei Tagen hintereinander. Auf Landesebene genauso, noch eine Stufe vorher 4 Aufgaben in 4 Stunden (meist so von 8:15 bis 12:15).

Ciao Lutz