Willst Du ein solches Gerät von Grund auf konstruieren, hast du die Wahl zwischen einfachen Blei-Säure-Akkus aus dem KFZ-Bereich oder aber NiMH-Akkus in Standardbauformen, wie man sie z.B. für Digitalkameras verwendet.
NiMH-Stäbchen (Bauform AA oder AAA) erhältst Du mittlerweile mit Kapazitäten um 3Ah, allerdings nur mit Spannungen um 1,2V oder 1,5V. Entsprechend viele musst Du verketten.
Für ein Konstrukt von 12V und 12A musst Du insgesamt 4 Bündel á 10 Akkus verwenden:
Jeweils 10 Stück in Reihe (um von 1,2V auf 12V zu kommen) und von diesen 10er-Bündeln 4 Stück parallel (um von 3Ah auf 12Ah zu kommen). 40 dieser Akkus dürften wahrscheinlich deutlich teurer sein als ein einfacher Motorrad-Akku mit 12V und 12Ah.
Zum Laden Deines Handys bekommst Du zB bei Amazon KFZ-Ladegeräte. Such Dir einfach eins mit 2A aus! Alternativ kannst du auch einen Spannungsteiler und eine USB-Buchse kaufen, das dürfte deutlich günstiger sein.
Zum Laden der KFZ-Batterie brauchst Du ein Ladegerät, das Du ab 20€ bekommen kannst.
Das Laden der beschriebenen Akku-Bündel stellt sich etwas komplizierter dar: Hier müsstest Du mit einigen Ladegeräten arbeiten oder schalten (lassen) um sequenziell zu laden.
Alles in allem ein schönes Projekt!
Ich bin jedoch der Meinung, dass Du im Selbstbau Dein Budget nicht halten kannst.
Des Weiteren wirst Du wahrscheinlich keine mobile, sondern eine transportable Lösung erhalten, ganz einfach aus Gewichtsgründen.
Als Dritte und wahrscheinlich praktikabelste Lösung könntest Du einen Notebook-Akku mit dem zugehörigen Ladegerät verwenden. Dazu ist allerdings eine exakte Recherche der technischen Daten wie Ladespannung und -strom und ggf. ein Ausschlachten des Notebooks im Hinblick z.B. auf benötigte Laderegler notwendig.
) voll, aber das soll ja sicher nich sinn und zweck sein 
) dann würde ich ein Fertiggerät empfehlen. Hier gibt es viele Hersteller mit den unterschiedlichsten Betriebsdaten. Einfach mal nach „Powerbank“ googeln oder z.B. bei Pearl (