Hallo Gemeinde,
Was ist eine Moment-generierende Funktion und wozu benötigt man diese?
Im meinem Fall handelt es sich um die moment generating function (mgf) der bivatiaten Normalverteilung.
Mit vielen ???
Pumarc
Hallo Pumarc,
wie es in dieser bivariaten Statistik aussieht, weiß ich auch nicht.
Ich versuche aber darzustellen, welche Vorstellung man mit einer erzeugenden Funktion (generating function) verbindet.
Man habe zunächst unendlich viele reelle Zahlen, z.B. die Momente einer statistischen Verteilung (Mittelwert, Varianz, höhere Korrelationen). Diese Zahlen nennen wir a_0, a_1, a_2, a_3, etc.
Aus diesen Zahlen bastelt man sich eine Funktion F(x):
F(x) = a_0 + a_1*x + a_2*x²2 + a_3*x³ + …
Wenn man viel Glück, kann man die Funktion F(x) sogar geschlossen angeben.
Ein beliebig herausgegriffenes Beispiel:
a_0 = 0, a_k = 1/k für k>=1
-> F(x) = - ln(1-x)
Wenn man die Funktion F(x) kennt, erhält man das individuelle Moment a_k durch k-fache Differentiation, anschließender Setzung x=0 und Division durch k! (k Fakultät). Üblicher ist es allerdings, Integrale
Int^1_0 x^k F(x) dx
(obere Grenze: 1, untere Grenze: 0)
zu berechnen und daraus auf die a_k zu schließen.
Aber normalerweise
heißen genau diese Integrale die Momente von F(x), und die
Koeffizienten a_k in der obigen Potenzreihe hängen von diesen Momenten auf einfache Weise ab.
Wenn man zu einer Zahlenfolge die erzeugende Funktion ausfindig gemacht hat (überhaupt keine triviale Angelegenheit!!), kann man aus den Erkenntnisse über F(x) auf Eigenschaften der Momente bzw. der a_k - und zwar für *alle* - schließen.
Die erzeugende Funktion ist gewissermaßen die Kompaktversion der Momente.
Bißchen viel, das hier…hm… 
Gruß
Stefan
Hallo,
Was ist eine Moment-generierende Funktion und
wozu benötigt
man diese?
Wenn du eine Zufallsvariable x und eine Wahrscheinlichkeitsverteilung P(x) hast, dann ist die Moment-generierende Funktion definiert durch:
M(t)= ∫[-oo,oo]dt etxP(t)
Der Vorteil dieser Funktion ist, dass man Momente (also z.B. Mittelwert, mittleres Quadrat, usw) nicht durch umständliche Integration ermitteln muss, sondern dass diese durch eine simple Ableitung der Moment-generierenden Funktion gegeben sind.
So ist z.B.
= M’(0)
= M’’(0)
…
n> = M(n)(0)
Umgekehrt kann man aber auch bei bloßer Kenntnis der Momente n> einer Wahrscheinlichkeitsverteilung die Moment-generierende Funktion
zusammenbasteln:
M(t) = ∑ tnn>/n!
Und dann durch Rücktransformation die
Wahrscheinlichkeitsverteilung bestimmen:
P(x) = 1/(2pi) ∫[-oo,oo] e-tx M(t)
Gruß
Oliver
Mir ist gerade aufgefallen, dass ich den Formeln ein paar i’s vergessen habe. Also, der Vollständigkeit halber:
M(t)= ∫[-oo,oo]dt eitxP(x)
P(x) = 1/(2pi) ∫[-oo,oo] e-itx M(t)
M(t) = ∑ (it)nn>/n!
n> = M(n)(0)/in