Monotone Teilfolgen

Wissenschaft Mathematik
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Hallo,

ich bin ein wenig verwirrt von der heutigen Ana I Vorlesung, deswegen habe ich gedacht, ich stelle meine Verständnisfragen mal hier rein und gehe auf Nummer sicher :smile:

Es geht um die Aussage: Jede Folge (an) hat eine konvergente Teilfolge.

Man unterschiedet ja zwischen zwei Fällen:
(1) Es gibt eine Folge n1 n1 mit a_n1 nj mit a_nj+1 >= a_nj. Also ist (a_nj) eine monoton wachsende Teilfolge von (a_n).

Den ersten Fall habe ich verstanden, aber beim zweiten Fall bin ich mir noch nicht sicher: Bedeutet das, dass die Folgenglieder für n1’ bis n’r fallend sein könnte und ab n1 = n’r +1 dann monoton wächst? Weil die endliche Menge an Gipfelstellen deutet ja an, dass etwas Fallendes in der Folge existiert (z.B. für n2’ > n1’ ist a_n1’ > a_n2’)?

Meine zweite Frage ist: Wieso hat jede Folge eine Teilfolge? Und wie soll ich mir eine Teilfolge vorstellen? Für Folgen wie (-1)^n kann ich mir ungerade und gerade Teilfolgen vorstellen, aber wie soll ich mir allgemein (a_n1) von (a_n) vorstellen?

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Bedeutet das, dass die
Folgenglieder für n1’ bis n’r fallend sein könnte und ab n1 =
n’r +1 dann monoton wächst?

Über die Folge selbst wissen wir nur, dass sie ab n’r nur noch Werte kleiner oder gleich a_n’r annimmt und dass nach n’r keine Spitze mehr kommt. Guck dir das folgende Bild an:

Die Spitzen sind die roten Punkte. Du kannst dir den letzten roten Punkt in der Zeichnung als die Spitze bei n’r vorstellen. Dann sind die blauen Punkte die Glieder unserer Teilfolge. Guck dir den letzten blauen Punkt an: Das nächste Glied unserer Teilfolge soll ja größer sein, als dieser blaue Punkt. Jetzt könntest du ja sagen: Wer garantiert, dass es überhaupt noch ein größeres Glied gibt? Stell dir aber vor, der Graph würde nicht mehr größer werden als der blaue Punkt: Dann wäre dieser blaue Punkt ja eine „Spitze“. Und eine solche soll es ja nach dem roten Punkt nicht mehr geben!

Meine zweite Frage ist: Wieso hat jede Folge eine Teilfolge?
Und wie soll ich mir eine Teilfolge vorstellen? Für Folgen wie
(-1)^n kann ich mir ungerade und gerade Teilfolgen vorstellen,
aber wie soll ich mir allgemein (a_n1) von (a_n) vorstellen?

Stell dir eine Folge als eine „wörtliche“ Folge vor:
(a_1, a_2, a_3, …). Eine Folge ist zum Beispiel auch (1, 7, 99, -123, 3.12, 3, …). Eine Teilfolge bekommst du nun, wenn du einfach ein paar Folgenglieder weglässt. Eine Teilfolge des Beispiels ist zum Beispiel (7, -123, 3, …) oder auch (1, 3, …) oder eben (1, -123, 3, …).
Es muss streng genommen keine „Systematik“ dahinterstecken, welche Folgenglieder du weglässt. Aber es „darf“ natürlich eine dahinterstecken. Und meistens, wenn man mit Teilfolgen arbeitet, gibt es auch eine „Systematik“, nach der man die Folgenglieder auswählt, die in der Teilfolge stehen sollen.

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Die genannten Probleme liegen jenseits meines Horizontes. Vielen Dank für die Nachfrage!