Hallo,
kann mir jemand in einfachen Worten erklären, wo der Unterschied zwischen monoton und streng monoton ist?? Das habe ich nie richtig verstanden :-/
Danke
Ajo
Hallo Ajo!
Wenn ich mich recht erinnere ist das - einfach erklärt - so: Eine Funktion, die streng monoton wächst, wächst grundsätzlich von einem Wert zum nächsten. Eine Funktion, die nur monoton wächst, kann auch mal denselben Wert beibehalten, nur eben nicht abnehmen…
Ich hoffe, ich hab das jetzt richtig erinnert und auch noch verständlich wiedergegeben!
Gruß
Kari
Hallo, Ajo
oder mit Formeln etwas weniger anschaulich:
f’(x)>=0 monoton
f’(x)>0 streng monoton
jartUl
Hallo,
streng monoton impliziert monoton, ist also die stärkere Aussage. Monotonie ist eine Aussage über die Beziehung der Ordnung der Eingabewerte zu den Ausgabewerten. Eine einstellige Funktion f: A -> B ist (streng) monoton wachsend, falls a**=f(b) (f(a)>f(b)) folgt. Bei einer streng monoton wachsenden Funktion wird also die Ordnung der Eingabewerte erhalten, bei einer streng monoton fallenden Funktion wird sie umgekehrt. Solche Funktionen sind zudem immer injektiv (d.h. keine zwei unterschiedlichen Eingabewerte werden auf dasgleiche Element abgebildet). Die Umkehrung davon gilt i.allg. nicht.
Gruss
Enno**
Hallo – danke bis hierhin…
Habt ihr vielleicht auch zwei Beispiele parat, zur Veranschaulichung?
Danke
Hallo,
die einfachsten:
-
f(x)=0 (monoton wachsend und fallend)
-
f(x)=x (streng monoton wachsend)
-
f(x)=(1+sgn(x))*x (monoton wachsend, sgn(x)=-1 für x0)
-
ist z.B. auch injektiv. Das die Umkehrung (injektiv => streng monoton) nicht gilt sieht man an dieser Funktion f(x)=x, falls x rational und f(x)=-x falls x irrational).
Gruss
Enno
Das die Umkehrung (injektiv =>
streng monoton — fallend/steigend —)
Hallo
- f(x)=0 (monoton wachsend und fallend)
==> komisch nur, dass bei dieser Funktion nie ein Wert größer/kleiner als ein anderer ist. Wie kann man dann von fallend/wachsend sprechen?? Komisch…
- f(x)=x (streng monoton wachsend)
==> Ist klar
- f(x)=(1+sgn(x))*x (monoton wachsend, sgn(x)=-1 für x0)
==> was heißt denn sgn? Gibt es kein Beispiel, was einfacher ist? Ich will es 11-Klässlern erklären
- ist z.B. auch injektiv. Das die Umkehrung (injektiv =>
streng monoton) nicht gilt sieht man an dieser Funktion
f(x)=x, falls x rational und f(x)=-x falls x irrational).
==> was heißt injektiv? Ich verstehe den ganzen Abschnitt nicht 
Ajo
Hallo Ajo,
- f(x)=0 (monoton wachsend und fallend)
==> komisch nur, dass bei dieser Funktion nie ein Wert
größer/kleiner als ein anderer ist. Wie kann man dann von
fallend/wachsend sprechen?? Komisch…
Komisch, aber wahr. Liegt halt daran, daß sowohl bei momton wachsend wie auch bei monoton steigend das „=“ in der Definition steckt. Eine Funktion, die konstant ist und immer den gleichen Wert hat, ist also beides…
- f(x)=(1+sgn(x))*x (monoton wachsend, sgn(x)=-1 für x0)
==> was heißt denn sgn? Gibt es kein Beispiel, was
einfacher ist? Ich will es 11-Klässlern erklären
sgn heißt „signum“. Das ist im Prinzip die „Vorzeichenfunktion“. Sie gibt dir für jeden Wert dessen Vorzeichen an: -(1) für negative Werte, +(1) für positive, „0“ für 0.
Letztlich ist jede lineare Funktion der Form y=ax+b
streng monoton steigend, wenn a>0,
streng monoton fallend, wenn a
Letztlich ist jede lineare Funktion der Form y=ax+b
streng monoton steigend, wenn a>0,
streng monoton fallend, wenn a
Hallo,
Wie kann man dann von fallend/wachsend sprechen?? Komisch…
Vermutlich, weil es keinen griffigen deutschen Ausdruck für nicht-fallend bzw. nicht-wachsend gibt (das wäre in der Tat passender).
==> was heißt injektiv? Ich verstehe den ganzen Abschnitt nicht
Injektiv heißt, daß keinen zwei Elementen der Definitionsmenge ein gemeinsamer Wert im Wertebereich zugeordnet wird oder formaler f(x)=f(y) => x=y. Wenn der Begriff noch nicht bekannt ist, vergiß das Bsp. Ist zum Verständnis Deiner eigentlichen Frage auch nicht notwendig.
Gruss
Enno
danke