Hossa 
Die wohl einfachste Definition von Wahrscheinlichkeit ist:
\mbox{Wahrscheinlichkeit}=\frac{\mbox{Anzahl
der guenstigen Ereignisse}}{\mbox{Anzahl der moeglichen
Ereignisse}}
In dem folgenden „Bild“ ist E die Menge aller möglichen Ereignisse. A ist eine bestimmte Menge von Ereignissen und B ebenfalls. Ein paar Ereignisse liegen sowohl in A als auch in B; diese „Schnittmenge“ ist mit Sternchen gefüllt.
/----------------------------------\
| |
| /----------\ |
| | | |
| | /----|-------------\ |
| | |\*\*\*\*| B | |
| | \----|-------------/ |
| | A | |
| \----------/ |
| E |
\----------------------------------/
Addition der W.
Aus dem Bild kann man sofort die W. für das Eintreten eines Ereignisses aus A oder aus B ablesen:
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)
Der letzte Term muss subtrahiert werden, da er sowohl in P(A) als auch in P(B) enthalten ist und daher sonst doppelt berücksichtigt würde.
Multiplikation der W.
Aus dem Bild folgt die W. für das Eintreten eines Ereignisses aus B:
P(B)=\frac{\mbox{Anzahl der Elemente in B}}{\mbox{Anzahl der Elemente in E}}
und ebenso schnell die W. für das Eintreten eines Ereignisses aus der Schnittmenge von A und B:
P(A\cap B)=\frac{\mbox{Anzahl der Elemente in }A\cap B}{\mbox{Anzahl der Elemente in E}}
Nehmen wir nun an, wir wüssten bereits, dass ein Ereignis aus der Menge B sein muss. Wie groß ist dann die W., dass dieses Ereignis auch in der Menge A liegt?
Die Anzahl der möglichen Fälle ist nun gleich der Anzahl der Elemente in der Menge B, denn wir wissen ja bereits, dass das Ereignis in B liegen muss. Die Anzahl der günstigen Fälle ist gleich der Anzahl der Elmente in der Schnittmenge von A und B. Daher lautet die „Wahrscheinlichkeit von A bezüglich B“:
P_B(A)=\frac{\mbox{Anzahl der Elemente in }A\cap B}{\mbox{Anzahl der Elemente in B}}
Wir erweitern den Bruch auf der rechten Seite mit einer „1“:
P_B(A)=\frac{\mbox{Anzahl der Elemente in }A\cap B}{\mbox{Anzahl der Elemente in B}}\cdot\frac{\mbox{Anzahl der Elemente in E}}{\mbox{Anzahl der Elemente in E}}
und sortieren etwas um:
P_B(A)=\frac{\mbox{Anzahl der Elemente in }A\cap B}{\mbox{Anzahl der Elemente in E}}\div\frac{\mbox{Anzahl der Elemente in B}}{\mbox{Anzahl der Elemente in E}}
Nun kannst du die beiden Terme auf der rechten Seite durch die oben identifizierten W. ersetzen:
P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}
Oder etwas umgeformt:
P(A\cap B)=P_B(A)\cdot P(B)
Die W., dass ein Ereignis eintritt, das sowohl in A als auch in B enthalten ist, wird also " stufenweise" berechnet. P(B) ist die W., dass ein Ereignis aus B eintritt. Ist dieses eingetreten, beeinflusst das im Allgemeinen die W. dafür, dass das eingetretene Ereignis auch in A liegt.
Dies gilt natürlich auch, wenn man zuerst die W. berechnet, mit der das Ereignis in A liegt und dann mit der Wahrscheinlichkeit von B bezüglich A multipliziert. Das folgt aus analoger Betrachtung zu oben mit vertauschten Mengen A und B:
P(A\cap B)=P(A)\cdot P_A(B)
Diese Formeln für die Multiplikation gelten ganz allgemein.
Unabhängige Ereignisse:
Oben hatten wir Folgendes angenommen:
„Nehmen wir nun an, wir wüssten bereits, dass ein Ereignis aus der Menge B sein muss. Wie groß ist dann die W., dass dieses Ereignis auch in der Menge A liegt?“
Ist bei der Berechnung der W. für das Eintreten eines Ereignisses aus A die Menge der möglichen Ereignisse nicht auf eine Menge B einschränkbar, kommt die Menge E aller Ereignisse in Betracht. Die Ereignisse A und B sind dann „voneinander unabhängig“ und es gilt:
P_B(A)=P(A)\quad\mbox{bzw.}\quad P_A(B)=P(B)
und daher für die Multiplikation:
P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)
Hinweis: Voneinander unabhängige Ereignisse A und B bedeutet also nicht, dass deren Schnittmenge leer ist!
Viele Grüße
