Hallo Christian,
Ich grübel gerade über einem Problem, dass mir bei meiner
Klausurvorbereitung über den Weg gelaufen ist.
Es geht um die Multiplikation von 3 Matritzen, Also AxBxC
Multipliziert man da von links nach rechts oder umgekehrt?
Also, Multiplizier ich da erst A und B und das Ergebnis dann
mit C oder zuerst BxC und dann mal A?
nur um der Gefahr vorzubeugen, daß Du Dich noch durch einen bestimmten Teil dieses Threads verwirren läßt, möchte ich diejenigen meiner beiden Vorredner, die Bescheid wissen, nochmal bestätigen:
Die Matrixmultiplikation ist assoziativ. Das bedeutet, daß
A (B C) = (A B) C
ist. Du kannst also zuerst B mit C multiplizieren, und dann A „von links“ an das Resultat (dann bist Du nach der linken Seite der obigen Gleichung vorgegangen). Dasselbe kommt heraus, wenn Du zuerst A mit B multiplizierst und dann C „von rechts“ an das Resultat (dann wärst Du nach der rechten Seite der obigen Gleichung vorgegangen). Weil beides zum selben Ergebnis führt, darfst Du die Klammern auch weglassen.
Eine ganz andere Frage ist jedoch die, ob A B dasselbe ist wie B A. Dies ist nicht der Fall : Die Matrixmultiplikation ist (im allgemeinen) nicht kommutativ. Die entsprechende Ungleichung ist so – und nur so – zu formulieren:
A B =|= B A
Erkennst Du, daß es bei den Eigenschaften Assoziativität und Kommutativität um etwas ganz Verschiedenes geht? Wenn nicht, dann geh zurück an den Anfang und lies alles nochmal. Denn das verstanden zu haben ist wichtig.
Also:
(P Q) (R S) (T U)
und
P (Q R) (S T) U
und
P (Q (R S) T) U
sind wegen dem Assoziativgesetz garantiert alles dasselbe (*), nämlich gleich „P Q R S T U“ mit Klammern gesetzt wie Du lustig bist. Was Du nicht darfst, ist irgendwas an der Reihenfolge der Faktoren ändern; denn dann kommst Du mit dem Kommutativgesetz in Konflikt, und die Sache geht schief. Wenn „P (Q (R S) T) U“ gefragt ist, dann darfst Du auf keinen Fall"P (U (R S) T) Q" rechnen, denn die beiden Ausdrücke sind nicht gleich. Das ist auch der Grund, warum ich oben so peinlich genau „von links“ und „von rechts“ geschrieben habe.
(*) Du meinst, das kann bei einer derart „komplizierten“ Rechenvorschrift wie der Matrixmultiplikation ja wohl im Leben nicht hinkommen? Glaub es trotzdem, denn tatsächlich genügt _gerade_ diese Rechenvorschrift mit dieser Struktur eben der Assoziativität!
Ist es jetzt klargeworden?
Mit freundlichem Gruß
Martin
