Hi,
folgende Aufgabenstellung aus der Signaltheorie bzw. Elektronik:
Es sollen m ( m = 2^n) Sinusfunktionen zu einem „Multisinus“ F(t)addiert werden. Alle Sinusfunktionen haben die gleiche Amplitude, ihre Frequenzen f sind 1, 2, 3, 4, … m. Gesucht werden die m Phasenverschiebungen p(f) jeder einzelnen Sinusfunktion, für die das Verhältnis aus dem Betrag des Maximalwerts der Summe zu ihrem arithmetischen Mittelwert am geringsten ist.
Als Formeln:
F(t) = Summe (cos(f*t) + p(f))
mit t = 0 bis 2 Pi und f = 1, 2, 3 bis m.
Forderung:
Maximum(Betrag(F(t)) / Wurzel(Integral(F(t)^2)) / (2*Pi)
soll minimal sein. (2*Pi kann man natürlich weglassen.)
Die gegenteilige Forderung ist leicht zu erfüllen: Mit p(f) = 0 für alle f ergibt sich dass, was man in der Technik einen Dirac-Puls nennt. F(t) ist dann überall (fast) 0 und nur an den Stellen 0, 2*Pi, 4*Pi etc. wird sie m (Dirac würde für m -> unendlich gelten).
Vielleicht ist das eine Standardfrage der Mathematik und in Google 1000-fach zu finden - dann müsste ich nur ihren Namen wissen.
Hintergrund: Ein Signalgenerator soll eben diese m Sinusfrequenzen gleichzeitig mit möglichst hoher Ausgangsspannung (Effektivwert), aber natürlich bei begrenzter Maximalspannung, ausgeben. Das o. G. Verhältnis ist das, was man den Crestfaktor nennt, er soll so klein wie möglich sein. m soll in meinem Fall 2^16 bis 2^18 werden, probieren geht also schlecht.
Trotzdem habe ich ein bisschen probiert und für m = 2048 einen relativ kleinen Crest-Faktor von ca. 2,6 gefunden, wenn p(f) = f^1,31 wird… hmmm…
Hab’ ich 'ne Chance?
Grüße
Uwe