In meinem Buch wird immer nur mit 3-komponentigen Vektoren operiert. Ich habe mir zu den „n-komponentigen“ Operationen folgendes zusammengereimt, könnt ihr das bitte mal durchlesen und mir sagen ob das so stimmt.
Skalarprodukt mit n-komponentigen Vektoren
Wenn ich die Herleitung vom 3-komponentigen Skalarprodukt betrachte, bin ich eigentlich der Meinung, dass man das Skalarprodukt ohne Anpassung auf n-komponentige Vektoren anwenden könnte.
Ist dies so richtig?
Vektorprodukt mit n-komponentigen Vektoren
\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{c}
Vektor a ist rechtwinklig zu Vektor c,
Vektor b ist rechtwinklig zu Vektor c,
Betrag Vektor c, ist gleich der Parallelogrammfläche ab.
Vektor a ist rechtwinklig zu Vektor c,
Vektor b ist rechtwinklig zu Vektor c,
Betrag Vektor c, ist gleich der Parallelogrammfläche ab.
Also wie ich das verstehe möchtest du diese drei Eigenschaften erhalten. Zuerst einmal wäre es dann wichtig, zu erkennen, dass dies für beliebig viele Dimensionen nicht nur mit zwei Vektoren funktioniert.
Beispielsweise in 4 Dimensionen bräuchte man 3 Vektoren um eindeutig eine Menge von linear abhängigen Vektor zu erhalten. In 2 Dimensionen hingegen nur einen.
Im Grunde läuft das auf das aufstellen eines linearen Gleichungssystems hinaus.
Wenn du in n Diemnsionen hantierst brauchst du (n-1) Vektoren, die ich mal v_1, v_2, …, v_(n-1) nenne. Das * soll jetzt mal für das Skalarprodukt stehen. Dann musst du dieses Gleichungssystem lösen um den Vektor x zu ermitteln:
x * v_1 = 0
x * v_2 = 0
…
x * v_(n-1) = 0
|x| = Inhalt des (n-1) dimensionalen Spats
Du hast n Gleichungen und n Unbekannte (die Komponenten von x). Du erhältst zwei Lösungen (wegen der Wurzel in |x|).
Ob das die mathematisch korrekte Definition für das n-dimensionale Vektorprodukt ist ist mir nicht bekannt. Aber es ist auf jeden Fall möglich, so diese Eigenschaften des 3D-Vektorprodukts auf beliebige Dimensionen zu verallgemeinern.
Das Skalarprodukt kannst du analog zum 3-dim. Fall auf n Dimensionen übertragen.
\vec a\cdot\vec b=\sum_{i=1}^na_ib_i=\left|\vec a\right|\cdot\left|\vec b\right|\cos\angle(\vec a,\vec b)
Ist das Skalarprodukt von zwei Vektoren gleich 0 spricht man in n Dimensionen aber seltener von „senkrecht“, sondern verwendet eher das Adjektiv „orthogonal“.
Das Vektorprodukt
\vec a\times\vec b
ist gar kein echter Vektor (im Sinne der Transformationseigenschaften), sondern ein sog. Pseudo-Vektor und ist nur im 3-dimensionalen Raum definiert.
