hallo!
Wie zeigt man, dass fn und fn+1 (wobei „n“ und „n+1“ im Index stehen) teilerfremd sind???
Funktioniert das mit Hilfe des ggT, der bei teilerfremden Zahlen „1“ ist?
Vielen Dank!
P.S.: An Oliver: Ich studiere zwar Mathe, hab aber keine „Hausaufgaben“ zu lösen, sondern bearbeite Aufgaben freiwillig. Ich habe mir auch schon sehr viele Gedanken über die Lösung gemacht und versuche einfach nur die korrekte Lösung zu erfragen…
‚teilerfremde‘
„Wie zeigt man, dass fn und fn+1 (wobei „n“ und „n+1“ im Index stehen) teilerfremd sind???
Funktioniert das mit Hilfe des ggT, der bei teilerfremden Zahlen „1“ ist?“
(Tscha, die 1 zählt eben nicht als „vollwertiger Teiler“…, also, wenn der GGTeiler = 1 ist, „teilt“ eigentlich nicht einmal die 1…
Denn „teilerfremd“!!!)
Korrekt, liebe Judith, wobei deine Schreibweise „fn“ und „fn+1“ (nicht aber wegen der Art der Indizierung) etwas ungewöhnlich ist.
Du meinst wohl „nur“ die Untersuchung zweier beliebiger natürlicher Zahlen auf Teilerfremdheit, oder?
Die „Einser-Regel“ ist eine Folge des „Euklidischen Algorithmus“ als „zufuß-Methode“ der Ermittlung des GGT:
Eine Zahl, die sowohl m als auch n teilt, die teilt natürlich auch n+m und wichtiger, n-m, und noch wichtiger, n-k*m, wobei man also m so oft von n abzieht, bis nicht mehr geht. (GGT von 8 und 3: 8-2*3 = 2, und da geht 3 nicht mehr rein!). Nun macht man so weiter: Die restliche Differenz, also n-k*m im Beispiel die 2 ist also auch durch den GGT teilbar. Entweder er ist schon selbst der GGT, oder man findet diesen, indem man nun den Rest so oft geht, von der kleineren Zahl abzieht. Im Beispiel Rest 2, also: 2 von 3 = 3-2 = 1. "Entweder ist das nun schon der GGT,…gibts was kleineres?
Anderes Beispiel, GGT von 16 und 6 gesucht:
16-2*6 = 4. 6-4 = 2, fertig, denn: 4-2*2 = 0!!!
Und 2teilt 6, und 2 teilt 16!!!
Bei GGT vo 38 und 14 wirds etwas komplizierter: 38-2*14 = 10;
14-10 = 4; 10-2*4 = 2, und fertig, denn 4-2*2 = 0 !!!
Und es gibt keinen größere Teiler. Denn 4 teilt ja nicht die 6!
Bei diesen „Operationen“ haben wir nur das „Distributivgesetz“ verwendet, und immer nur Differenzen von Vielfachen von n und m addiert/abgezogen, also ergeben sich auch immer nur Resultate, die ebenfalls durch den gemeinsamen Teiler zu teilen sind!!!
Als Konsequenz (gewisserweise "rückwärts zurück gerechnet) ergibt sich eben: "Der GGT zweier natürlicher Zahlen m und n läßt sich immer als natürliche `Linearkombination´ der beiden darstellen, also als
GGT = k*m + l*n (k,l ele |N). In dem zweiten Beispiel:
Anderes Beispiel, GGT von 16 und 6 gesucht:
16-2*6 = 4. 6-4 = 2, fertig, denn: 4-2*2 = 0!!!
Und 2teilt 6, und 2 teilt 16!!!
UND 6 - (16-2*6) = 2 = 6-16+2*6 = 3*6 - 1*16 =GGT(6,16)!!!
Genauso läßt sich die 1 immer als Linearkombination der beiden infrage stehenden „teilerfremden“ Zahlen darstellen: k*a+l*b = 1.
Krüßli, moinmoin, manni
Die Zahlen, die untersucht werden sollen, sollen sich genau um „1“ unterscheiden, also nicht total willkürlich gewählt sein;
Den „Euklidischen Algorithmus“ kenne ich, vielen Dank aber trotzdem nochmal für die Erläuterung.
Ich habe hier einen Lösungsversuch, von dem ich aber selber nicht 100% überzeugt bin; ich glaube zu Beginn steckt ein Denkfehler drin; trotzdem setze ich ihn aber mal hier rein:
Ausgangsgleichung:
b = q * a + r wobei b größer als a ist und „a teilt b“;
q ist der unvollständige Quotient
r ist der Rest
n+1 = q * n + 1 (nach euklidischer Algorithmus)
n = q * n
1 = q
Setze nun q in erste Zeile:
n+1 = 1 * n + 1
n+1=n+1
1=1
Das heißt die beiden Zahlen sind teilerfremd. Ist es durch jene Gleichungen bewiesen? Kann es sein, dass ich die Zeile
n+1 = q * n +1 so nicht stehen lassen kann, weil beim euklidischen Algorithmus es ja immer Vielfache, der Ausgangszahlen sind?
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Hallo,
evtl. verstehe ich die Aufgabe falsch aber um z.Z. daß n und n+1 (für n>1) teilerfremd sind, reicht m.M.:
Widerspruchsannahme: Es gibt einen Teiler t>1 so daß gilt:
n=k*t
n+1=l*t
=> 1=(l-k)*t
=> l-k=1 und t=1 (Widerspruch)
Gruss
Enno
Hallo Enno
hey cool, vielen Dank; das Problem scheint hier auf ein paar wenige Zeilen gelöst zu sein! Danke! Judith
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