Nachweis von Monotonie bei Folgen

[freaky_b795f2]

Hallo ,
wir behandeln gerade Folgen in Mathe. Nun kann man ja mit a_n+1-a_n beweisen ob eine Folge monoton steigend oder fallend ist. Leider haben wir dass praktisch nicht durchgenommen :-/
Das Beispiel versteh ich zwar nicht aber leider ist das recht einfach gehalten wodurch es mir nicht wirklich hilft für die anderen Aufgaben
Ich bitte euch daher um Hilfe bei folgenden Aufgaben:
Untersuchen sie die Folge (a_n)auf Monotonie und Beschränktheit.
a) a_n=(3/4)ⁿ
b) a_n= 8n / n²+1

Und könnte mir bitte einer den Unterschied zwischen Schranke und Grenzwert erklären ?
Bei 1/n ist doch 0 der Grenzwert für n->unendlich und somit auch die größte untere Schranke - oder ?!

Vielen Dank für eure Hilfe
mfg
freaky
P.S. Es sind keine Hausaufgaben.

[freaky_b795f2]

korrektur

Das Beispiel versteh ich zwar nicht aber leider ist das recht
einfach gehalten wodurch es mir nicht wirklich hilft für die
anderen Aufgaben

[michael_f7f5bc]

hi,

wir behandeln gerade Folgen in Mathe. Nun kann man ja mit
a_n+1-a_n beweisen ob eine Folge monoton
steigend oder fallend ist. Leider haben wir dass praktisch
nicht durchgenommen :-/

naja: wenn diese differenz immer positiv ist, dann ist a_n+1 immer > a_n und also a_n steigend.
und umgekehrt.

dun kannst das auch mit quotienten machen (ist in der praxis relevanter):
a_n+1 / a_n > 1 für alle n, dann ist _n steigend.
und umgekehrt.

Das Beispiel versteh ich zwar nicht aber leider ist das recht
einfach gehalten wodurch es mir nicht wirklich hilft für die
anderen Aufgaben
Ich bitte euch daher um Hilfe bei folgenden Aufgaben:
Untersuchen sie die Folge (a_n)auf Monotonie und
Beschränktheit.
a) a_n=(3/4)ⁿ
b) a_n= 8n / n²+1

probiers mit den quotienten …

Und könnte mir bitte einer den Unterschied zwischen Schranke
und Grenzwert erklären ?
Bei 1/n ist doch 0 der Grenzwert für n->unendlich und somit
auch die größte untere Schranke - oder ?!

in der umgebung eines grenzwerts häufen sich „fast alle“ (= alle bis auf endlich viele) folgenglieder. für monotone fallende folgen sind die größten unteren schranken grenzwerte (müsste ein „satz“ sein.) und analog umgekehrt.

für nicht monotone folgen müssen größte untere und kleinste obere schranken keine grenzwerte sein. klassischer fall: irgendwie alternierende folgen wie z.b.

bei 1/n ist 0 die größte untere schranke. auch -1 wäre eine untere schranke. usw.
+2 wäre eine obere schranke. usw. usf.
grenzwert ist nur 0.

hth
m.