Hi,
kann mir jemand sagen wie man darauf kommt, dass die Näherung von (1-x)^(-1/2) ungefähr 1 + (x/2) ist?
Danke im Voraus.
Hi,
kann mir jemand sagen wie man darauf kommt, dass die Näherung
von (1-x)^(-1/2) ungefähr 1 + (x/2) ist?
Das sind die ersten 2 Summanden des Taylorpolynoms um den Entwicklungspunkt x=0.
Gruss
Paul
Ah ja, vielen dank, und was heißt das genau (so für dumme^^)? 
Gruß Andy
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Das sind die ersten 2 Summanden des Taylorpolynoms um den
Entwicklungspunkt x=0.
Ah ja, vielen dank, und was heißt das genau (so für dumme^^)?
D
Hallo,
also es gibt die möglichkeit eine Funktion durch sog. Taylor-Entwicklung
nach einem kleinen Parameter zu entwickeln (ich bin mir nicht sicher
inwiefern es Einschränkungen hinsichtlich der Funktionen gibt.).
Am besten ich versuche das ganze an einem Beispiel zu verdeutlichen.
Angenommen du hast eine Funktion f(x)= (1-x)^(-1/2)
[nur so als Beispiel] und x0 * x
Dabei gibt dir f(0) deine konstanten Terme.
f’(x)0 meint die Ableitung von f(x) an der Stelle 0. Diese
gibt dir den Koeffizienten deines Linearen Anteils. Und durch die multiplikation mit x stellst du deine Funktion bis zum linearen Anteil wieder her.
Nun kann es aber sein, daß dich auch noch die quadratischen Terme deiner Funktion interessieren, dann musst du diese natürlich auch
noch mit einbeziehen:
1/2 * f’’(x)0 gibt dir die Koeffizienten der Quaratischen Terme deiner Funktion (1/2 weil die Ableitung von x^2 ein Faktor 2 hinzufügt, der muss wieder weg. Wir wollen ja nur den Koeffizienten zu x^2).
Du kannst deine Funktion dann also bis zum quadratischen Term darstellen durch:
f(x) = f(0) + f’(x)0*x + 1/2*f’’(x)0*x2
das kann man soweit treiben wie man möchte.
Je nachdem wie klein x ist, bricht man schon bei x^2 oder treibt
das ganze bis x^203 (oder noch weiter).
Es gibt auch einen Fehlerterm, der aussagt wie groß der Fehler der
Entwicklung ist (hab’ ich leider nicht im Kopf).
Zurück zum Beispiel. Wir haben:
f(x) = (1-x)^(-1/2) => f(0) = 1
f’(x) = 1/2 * (1-x)^(-3/2) => f’(0) = 1/2
f’’(x) = 3/4 * (1-x)^(-5/2) => f’’(0) = 3/4
Damit folgt die Entwicklung bis x^2 zu:
f(x) = f(0) + f’(0) * x + 1/2 * f’’(0) * x2
= 1 + 1/2 * x + 3/8 * x2
Wenn x klein genug ist (x^2 verschwindend klein), benutzt du
eben nur die ersten beiden Elemente der Taylor-Entwicklung und
erhälst das gewünschte:
f(x) = 1 + 1/2 * x
Ach ja, hinsichtlich der Einschränkungen ist jetzt natürlich klar,
daß die Funktion midestens n-mal differenzierbar sein muss, wenn
ich die Taylorentwicklung bis x^n benötige.
So, nun habe ich sogar selber verstanden warum das ganze funktioniert (da benutzt man das jeden Tag und hat keine Ahnung) 
Mfg
Hendrik
Vielen Dank für die ausführliche Erklärung.
Da bin ich ja nicht der einzige der jetzt schlauer ist. ^^
Gruß Andy
Hi,
kann mir jemand sagen wie man darauf kommt, dass die Näherung
von (1-x)^(-1/2) ungefähr 1 + (x/2) ist?Danke im Voraus.
Für Nicht-Taylorfreunde:
Wenn x klein ist, stellt man fest, dass das Ergebnis ungefähr 1 ist. Also macht man einen Ansatz
(1-x)^(-1/2) = 1 + a*x + c, c 0:
a = 1/2.
Für die Praxis ist die Näherung denkbar schlecht.
Hi,
also es gibt die möglichkeit eine Funktion durch sog.
Taylor-Entwicklung
nach einem kleinen Parameter zu entwickeln (ich bin mir nicht
sicher
inwiefern es Einschränkungen hinsichtlich der Funktionen
gibt.).
Analytische Funktionen zeichnen sich gerade dadurch aus, dass sie (lokal) potenzreihenentwickelbar sind. Nicht analytische sind es logischerweise nicht.
Ach ja, hinsichtlich der Einschränkungen ist jetzt natürlich
klar,
daß die Funktion midestens n-mal differenzierbar sein muss,
wenn
ich die Taylorentwicklung bis x^n benötige.
Das (die Holomorphie) reicht im Komplexen (dort ist holomorph aequivalent zu analytisch). Im Reelen gibt es unendlich oft diffbare nicht-analytische Funktionen.
Gruss
Paul
Hi,
kann mir jemand sagen wie man darauf kommt, dass die Näherung
von (1-x)^(-1/2) ungefähr 1 + (x/2) ist?Danke im Voraus.
Es ist zwar kalter Kaffee, da aber die beiden Lösungen unten sich des starken Tobaks bedienen (Taylor Reihe, Vergl. von Koeefizienten einer Potenzreihe), ohne dass dies nötik ist, stelle ich hier den Weg vor, wie er hätte sein sollen.
Das einzige das man hier verwendet ist
lim<sub>n→∞</sub> |a<sub>n</sub>| = a
⇔ lim<sub>n→∞</sub> √|a<sub>n</sub>| = √a
{Wenn mir jemand erklären könnte, wie man das (exakt) beweist, wäre ich froh.}
Man zeigt das oben gefragte unter Verwendung von a - b = (a² - b²)/(a + b) für a + b ≠ 0:
lim<sub>x→0</sub>1/√(1-x) = 1
1/√(1-x) - 1
= (1 - √(1-x))/√(1-x)
= (1 - (√(1-x))²)/[√(1-x)\*(1 + √(1-x))]
= x/[√(1-x)\*(1 + √(1-x))]
Mit
lim<sub>x→0</sub>[√(1-x)\*(1 + √(1-x))] = 2
folgt
lim<sub>x→0</sub>[1/√(1-x) - 1] = x/2