Hossa Atef 
Du hast 4 Messpunkte vorgegeben:
(x_1 ; y_1)=(0.1 ; 1318 )
(x_2 ; y_2)=(0.5 ; 30179 )
(x_3 ; y_3)=(2.0 ; 472143 )
(x_4 ; y_4)=(5.0 ; 2929973 )
Deine Vermutung ist, dass diese 4 Punkte näherungsweise durch eine Kurve der folgenden Form beschrieben werden:
f(x)=ax^2+bx
Du möchtest nun a und b so bestimmen, dass die Funktion f(x) möglichst gut zu deinen Messpunkten passt.
Der goldene Standard hierfür ist die Gauß’sche Methode der kleinsten Fehlerquadrate. Dabei nimmt man die an der Stelle x_i berechneten Werte f(x_i) und subtrahiert sie von den realen Messwerten y_i.
f(x_i)-y_i
Die Differenzen werden quadriert (=> stärkere Gewichtung von großen Abweichungen und Gleichbehandlung von Abweichungen nach oben wie nach unten)
\left[f(x_i)-y_i\right]^2
und dann für alle n Messpunkte addiert (bei dir ist n=4):
\sum_{i=1}^{n}\left[f(x_i)-y_i\right]^2
Gauß hat nun nachgewiesen, dass die Funktion f(x) möglichst gut zu den Messpunkten passt, wenn diese Fehlersumme minimal ist! Die einzigen Parameter, die wir hierzu verändern können, sind a und b, weil die Funktion f(x) von a und b abhängt. Die Fehlersumme bezeichnen wir mit F(a,b) und schreiben die Gauß’sche Bedingung auf:
F(a,b)=\sum_{i=1}^{n}\left[f(x_i,a,b)-y_i\right]^2\to\mbox{Min!}
Diese Funktion hängt von a und b ab. Um die Extrema zu finden, müssen sowohl die partielle Ableitung nach a als auch die partielle Ableitung nach b gleich Null sein. Andernfalls gäbe es noch einen Veränderung von F(a,b) in a-Richtung oder in b-Richtung.
0=\frac{\partial}{\partial a}F(a,b)=\sum_{i=1}^{n}2\left[f(x_i,a,b)-y_i\right]\frac{\partial f(x_i,a,b)}{\partial a}=\sum_{i=1}^{n}2\left[ax_i^2+bx_i-y_i\right]x_i^2
0=\frac{\partial}{\partial b}F(a,b)=\sum_{i=1}^{n}2\left[f(x_i,a,b)-y_i\right]\frac{\partial f(x_i,a,b)}{\partial b}=\sum_{i=1}^{n}2\left[ax_i^2+bx_i-y_i\right]x_i
Jetzt hast du 2 Gleichungen für 2 unbekannte Parameter gefunden. Dividiert du nun jeweils beide Seiten durch 2 und stellst die Summen etwas um, erhält du:
a\sum_{i=1}^{n}x_i^4+b\sum_{i=1}^{n}x_i^3=\sum_{i=1}^{n}y_ix_i^2
a\sum_{i=1}^{n}x_i^3+b\sum_{i=1}^{n}x_i^2=\sum_{i=1}^{n}y_ix_i
Berechnet man die Summen für deine 4 Punkte, so erhält man:
a\cdot641.0626+b\cdot133.126=75145454.93
a\cdot133.126+b\cdot29.26=15609372.3
Dieses Gleichungssystem aufgelöst nach a und b ergibt:
a=116664.1588\quad;\quad b=2677.358091
bzw. für deine Funktion:
f(x)=116664.1588\cdot x^2+2677.358091\cdot x
Diese Formel liefert nun gerundet (in Klammern die Messwerte zum Vergleich):
(x_1 ; y_1)=(0.1 ; 1434 [1318] )
(x_2 ; y_2)=(0.5 ; 30505 [30179] )
(x_3 ; y_3)=(2.0 ; 472011 [472143] )
(x_4 ; y_4)=(5.0 ; 2929991 [2929973] )
Wie viele gültige Stellen bei den ermittelten Werten für a und b sinnvoll sind, musst du anhand deines Versuchsaufbaus noch entscheiden.
Ich hoffe, dir ein wenig geholfen zu haben.
Viele Grüße
Hasenfuß
