Natürliche Lösungen einer Gleichung

Wissenschaft Physik
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Hallo Forum,

Ich stehe gerade vor folgender Gleichung:

2a - 3b = 5c

Es geht nun darum, die Anzahl der möglichen natürlichen Lösungstripel (a;b;c) zu finden, also die Lösungen, bei denen a, b und c natürliche Zahlen sind.
Ich vermute, dass es unendlich viele sind, aber ich kann es nicht beweisen.

Wenn es nicht unendlich viele Lösungen sind:
Wie lauten alle Lösungen?

Wenn es unendlich viele Lösungen sind:
Welchen Gesetzmäßigkeiten gehorchen die Lösungen?

Ich wäre für alle Lösungsvorschläge, Anregungen oder Verweise dankbar.

Gruß
Johannes Nüßle

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Hallo Forum,

Ich stehe gerade vor folgender Gleichung:

2a - 3b = 5c

Hallo,

soweit ich das verstehe (es ist sehr spät…) müsstest du einfach logarithmieren.

a*log(2)-b*log(3)=c*log(5)

Dann hast du schon deine Gesetzmässigkeit. Nun wählst du für a und b beliebige Zahlen und bekommst damit c.

Gruss, Omar Abo-Namous

PS: hängt mich bitte nicht, wenn ich falsch liegen sollte (s.o.)

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Auch hallo.

Eine Lösung wäre z.B. a=3, b=1, c=1
Und rein logisch gibt es unendlich viele Tripel (Induktion)…
Am einfachsten geht es über das Setzen von c als nat. Zahl und dann das gschickte Einsetzen von Werten für a und b (zumindest bei mir).
@Omar: wenn Du beide Seiten logarithmierst muss die linke Seite ‚log (2^a - 3^b)‘ lauten. Auflösen geht leider nicht (Bartsch Seite 68)

HTH
mfg M.L.

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Hallo,

soweit ich das verstehe (es ist sehr spät…) müsstest du
einfach logarithmieren.

a*log(2)-b*log(3)=c*log(5)

Dann hast du schon deine Gesetzmässigkeit. Nun wählst du für a
und b beliebige Zahlen und bekommst damit c.

Gruss, Omar Abo-Namous

PS: hängt mich bitte nicht, wenn ich falsch liegen sollte
(s.o.)

Na gut, du wirst nicht gehängt :smile:

Durch Logarithmieren erhält man:

log(2a - 3b) = c*log(5)

Aber den Logarithmus links kann man leider nicht so einfach auseinanderziehen.
Wenn es das nur wäre, dann wäre ich wohl schon ein gutes Stück weiter.

Gruß
Johannes Nüßle

5

zweifel …
hi,
ich hab zweifel …
a) an der sinnhaftigkeit das zu untersuchen. wie kommst du (johannes) dazu, „vor einer solchen gleichung zu stehen“. willst du uns testen? *grins*
b) an der unendlichkeit der lösungsmenge. (könnte sein, dass das nur sehr wenige sind.)

anyway: ruhe lässt einem so schnell natürlich keine.

auf die schnelle hab ich folgende lösungstripel gefunden:
(1, 0, 0)
(2, 1, 0)
(3, 1, 1)
(5, 3, 1)
(7, 1, 3)

allgemein hören 2erpotenzen mit den zahlen 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6 … auf, 3erpotenzen mit 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1 …, 5erpotenzen mit 5. (ausnahmen jeweils nur am anfang)

lösungstripel mit höheren a, b und c kanns nur geben mit den einerziffern (8, 3, 5), (6, 1, 5), (2, 7, 5), (4, 9, 5). das schränkt die lösungen doch etwas ein.

mehr mach ich dazu sicher nicht. wie gesagt: ich zweifle.

m.

6

Eine Lösung wäre z.B. a=3, b=1, c=1
Und rein logisch gibt es unendlich viele Tripel (Induktion)…

Das wäre super, wenn es so einfach geht.
Leider verschließt sich mir bis jetzt dein Argument der Induktion.
(ja, ich weiß, was vollständige Induktion ist, ich verstehe nur nicht, wie man das hier anwenden kann)
Könntest du das mal näher ausführen?

Gruß
Johannes Nüßle

7

Morgen :smiley:

Du musst den Satz schon im Ganzen lesen: "rein logisch gibt … ". Immerhin gibt es ja auch unendlich viele Zahlen. Und das mit der Induktion war spekuliert…:wink: Zudem lassen sich mit etwas Geduld noch andere Tripel entdecken, aber Dich dürfte mehr das allgemeine Bildungsgesetz interessieren. Ich vermute aber mal, dass eine geschlossene Lösung schwer zu finden sein wird.

mfg M.L.

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Ich stehe gerade vor folgender Gleichung:

2a - 3b = 5c

Es geht nun darum, die Anzahl der möglichen natürlichen
Lösungstripel (a;b;c) zu finden, also die Lösungen, bei denen
a, b und c natürliche Zahlen sind.
Ich vermute, dass es unendlich viele sind, aber ich kann es
nicht beweisen.

…weiß nicht, ob Dir das weiterhilft, aber es hat mich an pythagoräische Zahlentripel und letzlich an den Fermatschen Satz erinnert. Die Fragestellung hierbei ist allerdings etwas anders. Man sucht ja bei gleichen Exponenten nach passenden Basen der Potenzen, also
a^n+b^n=c^n
…und soweit ich weiß bist Du damit auf eine besonders harte Nuss gestossen, die Jahrhunderte für eine Lösung gebraucht hat.
Ich hoffe Du kommst schneller ans Ziel! Vielleicht ist das eine Spur, wie Du Lösungsansätze finden kannst?

lg
Peter

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27+64+125 = 216
(pardon, erster Versuch wegen Fehler
wegen kaputter Brille und zu dicken
Fingern gelöscht!) Nun zweites Post.:

Also 3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3.
Hat also nicht direkt etwas mit Euren
„diophantischen Gleichungen“ zu tun.
Aber vielleicht interessierts Euch?
(Oder nur Oich?)
Hallo, liebe Mathe(mit)rätsler,
das ist natürlich kein natürliches
„pythagoräisches“ Zahlentripel wie
3^2 + 4^2 = 5^2, nur dies für die
3te Potenz. Es ist ein „natürliches
ZahlenQUADRUPEL“, zu dem ich bisher
noch kein weiteres Beispiel gefunden
habe. Gibt es mehrere solcher 4er
Gruppen von natürlichen Zahlen?

Ich habe auch noch nicht weiter
untersucht, ob es auch „ZAHLENPENTUPEL“
gibt für die Potenz 4, also 5 ZAHLEN
a,b,c,d und e, soda0 gilt:
a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = e^4
Hat jemand Lust mitzusuchen?
Lieber Krüsse, Moin, Manni(Dilda)

Pst: Meinen ersten Hinweis in diesem
thread auf „Diophantische Gleichungen“
habe ich übrigens aus einem bestimmten
allgemeinen Frust selber gelöscht.
Ihr habt ja ein paar Tage Zeit gehabt,
ihn zu lesen und speichern.
Bitte nicht böse saein!

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Pst: Meinen ersten Hinweis in diesem
thread auf „Diophantische Gleichungen“
habe ich übrigens aus einem bestimmten
allgemeinen Frust selber gelöscht.
Ihr habt ja ein paar Tage Zeit gehabt,
ihn zu lesen und speichern.
Bitte nicht böse saein!

Hab mich schon gefragt, wo der wohl hingekommen ist.
Ich hab übrigens unter dem Stichwort „diophantische Gleichungen“ mal gesucht, das Ergebnis war nicht sehr ermutigend. Mein Problem scheint ein Unterfall einer bisher unvermuteten Vermutung zu sein (Beal’s conjecture), für die man 100000$ Preisgeld bekommt. Es ist also zu erwarten, dass die Lösung wohl nicht so trivial ist, sonst hätte sie schon längt jemand gefunden.