Hallo an alle,
ich hoffe mir kann hier jemand helfen. Habe zwei Aufgaben bekommen, dich ich nicht lösen kann.
Hat jemand ne Idee wie ich das machen muss? Wäre toll.
Gruß Anne
Hallo Anne,
- Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen mit einer ungeraden
Anzahl von Teilern
Ich gehe mal davon aus, daß ihr sowas wie die Eindeutigkeit der Primfktorzerlegung bewiesen habt. Damit hat jede natürliche Zahl n >= 2 die
Darstellung
n = p_1^a_1 * p_2^a_2 * … * p_N^a_N
Dabei sind {p_i} paarweise verschiedene Primzahlen und die {a_i} Natürliche Zahlen ungleich 0.
Alle Teiler von n haben nun die Form
m = p_1^b_1 * p_2^b_2 * … * p_N^b_N,
wobei die {p_i} die Primzahlen von oben sind, und b_i eine natürliche Zahl ist mit 0
Hallo.
Mal kurz zu 1:
Welche Zahlen können das denn sein?
Primzahlen haben genau zwei Teiler, (fast) alle anderen Zahlen haben eine ebenfalls gerade Anzahl von Teilern, da sich die Zahl selbst ja immer als Produkt aus zwei Teilern bilden lässt.
Nur bei einer bestimmten Art von Zahlen klappt das nicht (ganz). Z.B. 4, 9, 16,… Und das sind?
Gruß,
Aragorn.
Hallo,
Wie viele Teiler gibt’s nun? Dafür muß man die möglichen b_i
abzählen und kommt so auf t = (a_1 + 1) * (a_2 + 1) * … *
(a_N + 1).Das heißt, daß alle Zahlen n, die in ihrer Primfaktorzerlegung
ein t haben, das ungerade ist, eine ungerade Anzahl von
Teilern haben.
insbesondere folgt daraus, daß diese Zahlen ausschließlich gerade Primzahlpotenzen (mit mind. einer >0) haben dürfen.
- Bestimmen Sie ALLE natürlichen Zahlen mit genau 4 Teilern.
Hier muß halt t=4 sein. Das heiß aber sofort: a_1 = 1 und a_2
= 1. Das heißt, daß n die Form n = p_1 * p_2 haben muß. Die
Teiler wären dann 1, p_1, p_2 und p_1 * p_2.
oder halt genau ein a_i=3, der Rest 0. Dann wäre n von der Form p^3.
Gruss
Enno
Hallo an alle,
vielen Dank für eure Hilfe!
LG Anne
Hey Chris,
deine Antwort zu zwei verstehe ich nich ganz. Ich muss alle natürlichen Zahlen aufschreiben und das zugehörige Hasse-Diagramm zeichnen. Wie geht das zu p_1 und p_2… ?
Schon mal danke.
Gruß Anne
Sorry meinte Enno nich Chris
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Hi Enno!
oder halt genau ein a_i=3, der Rest 0. Dann wäre n von der
Form p^3.
Äh… ja klar! 
Stimmt auffallend!
Chris