Natürlicher Logarithmus ln mit Basis e

Wissenschaft Mathematik
1

Hallo allen weiblichen und männlichen Profis

Stehe bei den natürlichen Logarithmen voll an. Der Logarithmus für sich ist mir klar und zumindest in seinen Grundzügen auch logisch nachvollziebar. Auch die Mächtigkeit der Zahl e beeindruckt mich sehr und wie ich damit zum Beispiel die Verdoppelung der Bevölkerung in Island bei einem konstanten jährlichen Wachstum berechnen kann…:wink:

Aber unser Lehrer will was ganz anderes wissen…:frowning:

Es heisst: Finde den Definitionsbereich jeder inversen Funktion und jeweils eine Formel für die Inverse:

  1. y = e^x+4
    Also ich habe ich y und x getauscht, so steht es in den Büchern, aber wofür dies gut ist …?? keine Ahnung… nur weil ich normalerweise nach x auflösen sollte? Dann habe ich folgendes gemacht:

y = e^x+4 x und y tauschen
x = e^y+4 beide seiten mit ln multiplizieren
ln(x) = y+4 auf der rechten Seite ist ja dadurch ln weggefallen
aber weshalb? Kann ich das durch einsetzen reeller
Zahlen nachvollziehen?? Irgendwie geht das aber bei
mir nicht…
ln(x)-4 = y wär dies das Inverse?? Wenn ja weshalb?? Weiter
komme ich da nicht…

die 2. gemeine Aufgabe ist:

  1. y = ln(2+e^x-3) Hier habe ich auch wieder y und x getauscht??
    x = ln(2+e^x-3) auch wieder mit ln multipliziert
    ln(x)= 2+e^x-3 dann komme ich wieder nicht mehr weiter…??

Wäre dankbar für Eure Hilfe…

PS: Gibt es gute Bücher oder Internetseiten, welche diese speziellen Logarithmenfunktionen erklären??

Thanks und Grüsse
Brian

2

Hallo Brian,

  1. y = e^x+4
    Also ich habe ich y und x getauscht, so steht es in den
    Büchern, aber wofür dies gut ist …??

Versuch dir mal klarzumachen, was eine Umkehrfunktion ist. Machen wir ein einfacheres Beispiel:

y= x+5
die Funktion gibt dir an, auf welchen y-Wert ein bestimmter x-Wert abgebildet wird, also z.B. für x=2 -> y= 7
Die Umkehrfunktion sagt dir jetzt: du hast einen bestimmten y-Wert: Wie sieht der x-Wert dazu aus? Im obigen Beispiel z.B. y= 8 -> man kann x= 3 sofort ablesen.

Automatisch macht man das so: y= 8= x+5 -> x= 3
Jetzt willst du wissen, wie das für allgemein gegebene y aussieht -> x= y-5

Jetzt nennst du das ganze Umkehrfunktion zu y: y^{-1}(x)= x-5
Was etwas verwirrend ist: In deiner Umkehrfunktion sind jetzt im Bezug auf die alte Funktion y und x vertauscht.

y = e^x+4
x und y tauschen: x = e^y+4

stimmt

beide seiten mit ln multiplizieren: ln(x) = y+4

Nicht ganz.
Du wendest den ln auf beide Seiten an (multiplizieren ist falsch ausgedrückt).
Ich würde vorher die 4 auf die andere Seite bringen (du willst ja nach y auflösen):
x = e^{y}+4 -> e^{y} = x-4
Dann ln anwenden: ln (e^{y}) = y = ln (x-4)

die 2. gemeine Aufgabe ist:
y = ln(2+e^x-3)

Bist du sicher, dass da nicht eine Klammer fehlt? Ich rechne erstmal so weiter.

Hier habe ich auch wieder y und x getauscht: x = ln(2+e^x-3)

stimmt nicht ganz: x = ln(2+e^{y}-3)

auch wieder mit ln multipliziert

Das brauchst du noch nicht, erstmal musst du sozusagen den ln auf der rechten Seite loswerden. Dazu „nimmst“ du beide Seiten erstmal „hoch e“. Ich meine e^{x} = e^{ln(2+e^{y}-3)}= 2+e^{y}-3
Dann bringst du alles, in dem kein y steht, auf die andere Seite:
e^{x}+1 = e^{y}
Dann noch mit dem ln nach y auflösen: ln(e^{y})= y= ln(e^{x}+1)
Ich hoffe, ich habe mich einigermaßen verständlich ausgedrückt.

Gruß
Kati

3

Hallo Kati
Du hast recht, ich hatte die Klammern vergessen richtig sollten die Aufgaben lauten:

  1. y=e^(x+4)
    sowie
  2. y=ln(2+e^(x-3))

Die 1. Aufgabe y=e^(x+4) glaube ich auch soweit nachvollziehen zu können:
y=e^(x+4) | y und x tauschen
x=e^(y+4) | auf beiden Seiten ln anwenden
ln(x) = y+4 | -4
ln(x)-4 = y | wieder ln auf beiden Seiten anwenden
x-4 = ln(y)

Würde das der Umkehrfunktion bzw. der Inversen von y = e^(x+4) entsprechen?
Was mir nicht ganz klar ist, e steht ja für die Eulersche Zahl bzw. ist eine Exponentialfunktion. ist e^x gleichbedeutend wie ln(x)?? Wenn ja weshalb schreibt man teilweise ln(x) und teilweise e^x?

Für die 2. muss ich nochmals etwas überlegen…

Wäre Dir dankbar wenn Du mir nochmals helfen könntest und werde mich dann sicher nochmals melden bezüglich der 2. Aufgabe…

Thanks
Brian

4

Hallo Brian,

  1. y=e^(x+4)
  2. y=ln(2+e^(x-3))

Die 1. Aufgabe y=e^(x+4) glaube ich auch soweit nachvollziehen
zu können:
y=e^(x+4) | y und x tauschen
x=e^(y+4) | auf beiden Seiten ln anwenden

stimmt

ln(x) = y+4 | -4

stimmt

ln(x)-4 = y | wieder ln auf beiden Seiten anwenden

den ln brauchst du nicht nochmal anwenden, du willst ja nach y auflösen, d.h. sobald du dort stehen hast: y= irgendwas, bist du fertig.

Würde das der Umkehrfunktion bzw. der Inversen von y = e^(x+4)
entsprechen?

Genau, das was du ausgerechnet hast (y= ln(x)-4 ), ist die Umkehrfunktion von y = e^(x+4).

Wie das mit dem Rechnen funktioniert, hast du denke ich verstanden. Kurz zur Wiederholung: Erst x und y vertauschen, dann nach y auflösen.

Ich glaube, du hast noch nicht ganz verstanden, was denn die Umkehrfunktion eigentlich ist. Ich versuche es nochmal mit einer neuen Erklärung (auch wenn ich es ohne aufzeichnen etwas schwer finde): Die Umkehrfunktion ist die, die deine Funktion rückgängig macht.

Vergiss man für einen Moment die e und ln. Machen wir ein einfaches Beispiel:
y(x) = x+2

Man kennt also x und will y ausrechnen:

x -\> y
0 -\> 2
1 -\> 3
4 -\> 6

Die Umkehrfunktion macht das ganze wieder rückgängig. Jetzt kennt man y und will x ausrechnen:

x 
Das würde so aussehen: x= y-2

Wenn man das als eigene Funktion definieren will, dann benennt man die Unbekannten wie immer: x ist das was rein kommt und y das was herauskommt.

Also schreibt man: y^{-1}= x-2
Du hast jetzt zwei Funktionen:
y= x+2 z.B. y(1)= 3
y^{-1}= x-2 dazu gehört y^{-1}(3)= 1

Das was bei der Funktion x ist, heißt bei der Umkehrfunktion y.

Jetzt zurück zu e^x:



> ist e^x gleichbedeutend wie ln(x)??

Nein, gar nicht, das schlag dir aus dem Kopf.
ln(x) ist die Umkehrfunktion zu e^x
Also: Nimm x=1 -\> y= e^x= e^1= e
Um diese Operation wieder rückgängig zu machen, brauchst du die Umkehrfunktion, das ist der ln:
ln(e)=1

Ich hoffe, du weißt was ich meine, normalerweise erkläre ich sehr gern mit Papier und Bleistift. Wenn nicht, dann melde dich nochmal.

Viele Grüße
Kati
5

Hallo Kati

Herzlichen Dank für deine Ausführungen. Das mit der Umkehrfunktion habe ich glaube ich begriffen.

Auch deine Anmerkung, dass ln(x) die Umkehrung von e^x ist leuchtet mir soweit glaube ich auch ein. Nur zum sicher gehen, wenn ich hätte:
y=a^x wäre die Umkehrfunktion x = ln(a) y mit Zahlen:
25=5^2 wäre die Umkehrfunktion 2 = ln(5) 25

Kannst Du mir noch sagen ob ich somit die 2. Aufgabe richtig gelöst hätte:
y = ln(2+e^(x-3)) | y und x tauschen
x = ln(2+e^(y-3)) | auf beiden seiten e^ anwenden
e^x = 2+e^(y-3) | -2
e^x-2 = e^(y-3) | ln auf beiden Seiten anwenden
x-ln(2) = y-3 | + 3
x-ln(2)+3 = y | Dann wäre dies die Umkehrfunktion

Wäre dies so richtig?

Hoffe habe es begriffen und bin dir dankbar für eine Rückmeldung.

Herzliche Grüsse
Brian

6

Hallo Bruno!

Dir ist ein Fehler unterlaufen:

y = ln(2+e^(x-3)) | y und x tauschen
x = ln(2+e^(y-3)) | auf beiden seiten e^ anwenden
e^x = 2+e^(y-3) | -2
e^x-2 = e^(y-3) | ln auf beiden Seiten anwenden

Jetzt füge ich mal kurz eine Zeile ein:

ln(e^x-2) = ln(e^(y-3)).

x-ln(2) = y-3

Die rechte Seite, da hast Du natürlich recht, ist y-3, weil Du mit dem ln ja die e-Funktion umkehrst.
Aber links: ln(e^x-2) ist nicht gleich ln(e^x)-ln(2), oder allgemein:
\ln(a-b)\ne \ln a - \ln b.
Den Ausdruck wirst Du wohl so stehen lassen müssen, wie er ist, und Du erhältst
y=\ln\left(e^x-2\right)+3.;

Liebe Grüße
Immo