Hallo
Anschauliche Beispiele (z.B. aus der Technik) bei der Matrizen Multiplikation oder bei Inversen von Matrizen zu finden ist nicht schwer.
Multiplikation: zweimal Drehung hintereinander eines Ursprunngsvektors:
x-> x’=A*x -> x"=B*x’=B*A*x=(B*A)*x
Inverse: Jedes Gleichungssystem, das zu lösen ist, z.B. Widerstandsnetzwerke mit den Kirchhoff’schen Regeln:
R Matrix, I = (I_1, I_2, …), U die Batteriespannungen der Maschen:
R*I = U -> I = R^(-1)*U.
Jeder Schüler einer Technischen Fachschule lässt sich das gerne illustrieren.
Dagegen habe ich mich bzw. mir schwer getan, ‚natürliche‘ Beispiele für die Addition von Matrizen zu finden!
Als Mathematiker habe ich keine Probleme damit. Schließlich besagt das Cayley–Hamilton Theorem das das characteristische Polynom der Matrix (also eine Summe von Matrizen) Null ergibt - schon ist man mitten in der Addition von Matrizen.
Auch als Wirtschaftler scheint man schnell ein Beispiel zur Hand zu haben: Um die Ausgangstoffe für die Produktion von 1 Tonne Messing (CuZn30) oder 1 Tonne Bronze (CuSn15) zu bestimmen, stellt man es wie folgt dar:
[1(CuZn30)] [0.70 0.30 0] [1(Cu)]
= \* [1(Zn)]
[0] [0 0 0] [1(Sn)]
und
[0] [0 0 0] [1(Cu)]
= \* [1(Zn)]
[1(CuSn15)] [0.85 0 0.15] [1(Sn)]
Damit kann man per Skalarmultiplikation und Addition sofort darstellen, wieviel Ausgangsstoffe für man für die Jahresproduktion von 3 Millionen Tonnen Messing und 2 Millionen Tonnen Bronze benötigt:
[0.70 0.30 0]
3000000 \*
[0 0 0]
+
[0 0 0]
2000000 \*
[0.85 0 0.15]
[2100000 900000 0]
=
[1700000 0 300000]
Also
[3000000(CuZn30)] [2100000 900000 0] [1(Cu)]
= \* [1(Zn)]
[2000000(CuSn15)] [1700000 0 300000] [1(Sn)]
und man muss nicht erst groß rechnen, um zu erkennen, dass man für sein Vorhaben 3.8Mill t Cu, 0.9Mill t Zn und 0.3Mill t Sn benötigt (und die Kosten dafür nicht im Verkaufspreis vergessen darf.
Das hat der Schüler der Technischen Fachschule geschluckt und sofort geschworen, dass Matrizen Addieren etwas sinnvolles ist und dass man dies tut, indem man die Elemente der Matrix addiert.
Hier nun zu meiner Frage:
Obwohl ich mir selbst sofort tausend Beispiele aus der Physik hinschreiben kann, in denen die Addition von Matrizen eine Rolle spielt (lineare Kette von Oszillatoren oder Saite, Ising Modell, Hamiltonsche Mechanik mit den 6N-dimensionalen (p_1, …, p_3N, x_1, …, x_3N) Vektoren und natürlich der Quantenmaechanik von 2-ZUStandssystem über den Harmonischen Oszillator in Heisenbergscher Matrizenform bis zu Pfadintegralenen (Feldtheorie) mit Grassmanvariablen); oder aber einfach nur Diskretisierung einer Differentialgleichung), trotz der tausend Beispiele ist mir
k e i n a n s c h a u l i c h e s
Beispiel aus dem Bereich der Technik/Physik eingefallen, das ich hätte vorführen können.
Das einzige wäre mir vielleicht aus dem Bereich der Bildbearbeitung (Programmierung) in den Sinn gekommen.
Vielleicht kann mir jemand mit einem praktischen Beispiel aus der technischen Mechanik und/oder Elektrotechnik weiterhelfen, das man Technikkollegschülern vor der Fachhochschulreife vorführen kann.
(Also nix mit Cayley–Hamilton, Liouville- oder gar Hilbertraun oder dem x_i*e^iut Ansatz bei der harmonischen Kette. Und auch nicht aus dem Bereich Wirtschaft.)
Danke und Gruß.
P.S.:
Obwohl y"=B*y’=B*A*x ist z=y’+y"=(A+B)*x == Apfel+Birnen, z.B. bei der Rotation. Man muss also die Translation mit nehmen und die Sache ist gleich wieder kompliziert geworden.