Hallo,
wie kann ich die Fläche der drei nebeneinander liegenden Kreise (jeder Kreis berührt jeweils die anderen beiden) berechnen?
Hier eine Skizze dazu, die gemeinte Fläche ist rot markiert:
http://www.tuhh.de/~sipk0537/tmp/zwischenflaeche.gif
Zunächst dachte ich, dass der Berührungspunkt zum unteren Kreis im 45° zum Berührungspunkt des Kreises rechts bzw. links liegt, aber dem ist nicht so… Gibt es vielleicht eine allgemeine Formel dazu?
(der Radius ist bei allen Kreisen gleich und auch bekannt)
Mux
Ich bin bei der Arbeit, und ich kann leider dieses Problem nicht in meinen Bücher nachschlagen bzw. meinen Vorschlag rechnerisch nachprüfen.
Aber ich kann dir folgenden Tipp geben, und wenn ich mit meinem Tipp daneben liege, dann mag das WWW zur dieser späten Stund gnädig sein.
Also, die Kreismittelpunkte der drei Kreise ergeben ein Dreieck. Wenn die Kreise gleiche Radien haben, dann ergibt es ein gleichseitiges Dreieck mit 2 * Radius. Ein gleichseitiges Dreieck hat, soweit ich mich entsinnen kann, jeweils einen Winkel von 60 Grad oder π / 3 rad.
Du rechnest die Fläche des Dreiecks mit ½ * Höhe * a oder Einviertel mal a^2 mal Wurzel 3 aus.
Dann berechnest du die Flächen jeweiligen Kreissektoren (Kreisausschnitte) an den jeweiligen Dreiecksenden und ziehst sie der Dreiecksfläche ab ( A Dreieck minus drei mal Kreissektor). Die Kreisausschnitte haben dann auch den Winkel 60 Grad.
Somit müsste es damit gewesen sein.
Wenn du eine allgemeine Formel willst und ich mit meinem Tipp richtig liege, ist es nicht schwer, diese mit Kreissektorformel und der Dreiecksformel herzuleiten.
Cya Jan
Hi!
Helfen würde es, wenn Du ein imaginäres Dreieck zwischen den
Mittelpunkten der drei kreise ziehen würdest.
Ich könnt mich irren, aber soweit ich kurz sehe, ists ein
gleichseitiges (äh ja 3 gleich lange seiten) mit länge 2*r
abzüglich der fläche der drei kreissegmente die in das dreieck ragen.
diese haben jeweils den winkel 60° dh du müßtest die fläche eines
segmentes 3x abziehen oder auch die winkel mal 3 nehmen.
das gibt ein kreissegment r mit 3*60° oder 180° also einen halbkreis.
Gruß
Gerald
Hallo,
danke für den Tipp (auch an drambeldier, Proxymen)!
falls es jemanden interessiert bzw. mein Ergebnis überprüfen möchte, ist dabei eine ziemlich kurze Formel rausgekommen:
Zwischenfläche:
A = (SQR(3) - pi/2)*R^2
Mux
Ergebnis hab ich auch raus. owT
Na Du 
n´Abend Mux,
der Zufall machts Möglich: erst heute Abend habe ich mit meiner Tochter (16, Gymnasium) die gleiche Aufgabe lösen müssen. Nachdem ich alle meine Gehirnzellen zusammengefasst und mein mathematisches Grundwissen analysiert habe, hat es meine Tochter letztendlich doch verstanden.
Für meine (laienhaften) weiteren Ausführungen setze ich mal voraus, dass der Satz des Pytagoras bekannt ist, und dass die Grundregeln der Algebra (Gleichungen) bekannt sind (mehr kann ich auch nicht).
Unter http://www.gwg-elektro.de/tmp/kreis.bmp ist ein hilfreiches Bild abgestellt (Zeitbegrenzt). Jetzt gehts aber los:
Die Mittelpunkte der Kreise bilden ein gleichseitiges Dreieck (Winkel 60°= Radius „r“); die Berührpunkte der Keise bilden also auch ein Gleichseitiges Dreieck.
Jetzt ist es wichtig zu wissen, das die Länge der Sehne gleich dem Radius des Kreises ist.
Hier noch zwei Formeln:
Fläche für den Kreisausschnitt:
A= alpha*r²*Pi/360° oder A= 0,5*b*r
Länge des Kreisbogens:
b= alpha*r*Pi/180°
A= Fläche
alpha= Mittelpunktswinkel
r= Radius
Pi= 3,1415…
b= Länge des Bogens.
Im Weiteren kommen noch folgende Bezeichnungen hinzu:
h= Höhe des Bogens über der Sehne (max.)
s= Länge der Sehne
Zunächst sollte man mal die Fläche des Kreisausschnittes berechnen.
A= alpha*r²*Pi/360° (alpha = 60°)
davon muss dann die Fläche vom „kleinem 3Eck“ abgezogen werden.
Mit Hilfe von Phytagoras können die benötigten Maße berechnet werden.
Jetzt die Fläche des Kreisausschnittes mit dem Kreisabschnittes subtraieren, mit 3 multiplzieren, und vom „kleinen“ 3Eck abziehen.
Das wr´s.
Für Berichtigungen und erweiterungen währe ich dankbar.
(… währe ein Eintrag in „wikipedia“ wert … oder ?)
Gruß Volker
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Anm.
Hi,
hast Du dir meine Lösung durchgelesen?
Ist glaub ich ein bißchen einfacher und leichter verständlich
als Dein Ansatz, oder?
Gruß
Gerald
