Negative multiplikation

maron · 13. November 2006 um 18:41

guten abend.
vielen dank im vorraus für antworten, die meine wissenslücke zu
füllen wissen.

meine frage ist einfach, aber bereitet mir seit vorgestern
kopfzebrechen. also: warum ist -1 * -1 = 1
in der schule haben wir das alle gelernt, aber ich frage mich doch
sehr, warum das der fall ist.

ich weiß, dass eine nagative zahl quadriert eine positive wird,
sprich es nicht möglich ist die wurzel aus einer negativen zahl zu
ziehen. das macht es nötig, dass zwei negative zahlen multipliziert,
zu einer postiven werden, aber es begründet das ganze ja nicht. es
ist die kosequenz, nicht der urheber.

sich das ganze physisch vorzustellen ist auch nicht möglich („minus
ein schaf“ mltipliziert mit „minus einem schaf“ ist gleich ein
schwarzes loch…???), aber das wär auch zu einfach und nicht sehr
mathematisch.

ich weiß, dass es eine ausnahme bei den koplexen zahlen gibt, aber
meine frage bezieht sich nur auf die zahlen, die ich in der schule
gelernt habe ohne leistungskurs mathe zu wählen.

warum ist negativ mal negativ gleich positiv???

danke schön,
maron

pi_quer_7c07fc · 13. November 2006 um 19:38

Hi,

wie wärs hiermit:

0 = 0 * (-1) = (1 + (-1)) * (-1) = 1*(-1) + ((-1)*(-1)) = -1 + (-1)²

-> 1 = (-1)²

Ist eigtl. bloss eine konsequenz des Distributiv Gesetzes.
Übrigens auch in den komplexen Zahlen ist (-1)*(-1)= +1
Allerdings ist es in den komplexen Zahlen möglich ne Wurzel aus einer neg. Zahl zu ziehen. Die sogenannte imaginäre Einheit ist nämlich genau so definiert: (i = (-1)^(1/2)) Also Wurzel aus minus eins. Und alle anderen Wurzeln aus neg. Zahlen kannst du in eine Wurzel aus einer pos. Zahl mal Wurzel aus -1 zerlegen.
Bsp.: sqrt(-5)=sqrt(5)*sqrt(-1)=sqrt(5)*i

Gruss
Marco

PS: Vielleicht gibts ja noch eine anschaulichere Erklärung.

Michael_Bauer_c1319c · 13. November 2006 um 19:39

Hallo!

Mal ein Zahlenbeispiel:

-1 * 2 = -2

Das schreiben wir ein bisschen anders:

-1 * (3 - 1) = -2

Nun klammern wir aus:

(-1)*3 + (-1)*(-1) = -2

-3 + X = -2

Was muss man wohl für X einsetzen, damit die Gleichung stimmt? Voilà!

Michael

Sebastian_Scholtes · 13. November 2006 um 21:32

Hallo Maron,

meine frage ist einfach, aber bereitet mir seit vorgestern
kopfzebrechen. also: warum ist -1 * -1 = 1
in der schule haben wir das alle gelernt, aber ich frage mich
doch
sehr, warum das der fall ist.

warum ist negativ mal negativ gleich positiv???

das liegt wesentlich an folgender Eigenschaft der teilweisen Ordnung, d.h. kleiner gleich (

OlafG · 14. November 2006 um 09:05

Moin,

meine frage ist einfach, aber bereitet mir seit vorgestern
kopfzebrechen. also: warum ist -1 * -1 = 1

diese -1*, die da vorn steht, kannst Du Dir doch auseinander genommen vorstellen, also erst ne Multiplikation mit 1 und dann vor das Ergebnis noch ein Minuszeichen. OK?
Multiplikation mit 1 ist ja wohl klar, das ändert nichts, das kann man also auch weglassen. Bleibt das Minuszeichen. Und dass -(-1) = 1 ist, verstehst Du? Ein Minuszeichen dreht eben das nachfolgende Vorzeichen um. In der Physik bedeuten negative Vorzeichen (von vektoriellen Größen) meist nur, dass die Richtung gewechselt wird. Wenn ein Auto von einer positiven Geschwindigkeit auf eine negative „umschaltet“, wendet es eben oder fährt rückwärts. Und nach zweimal wenden (minus minus) fährt es eben wieder in die Ausgangsrichtung (plus).

Ich wünsche Dir einen positiven Tag.
Olaf

michael_f7f5bc · 14. November 2006 um 16:04

hi,

es gibt da verschiedene „ebenen“ der begründung.

mathematik-intern:

wir haben uns an gewissen rechengesetze (besser: recheneigenschaften) gewöhnt. z.b. das distributivgesetz:
a * (b + c) = a * b + a * c

(du verwendest das z.b. wenn du im kopf 17 * 11 als 17 * 10 + 17 = 187 rechnest.)

wenn „minus mal minus gleich plus“ ist, gilt das distributivgesetz
weiterhin; sonst nicht und man müsste sich das immer getrennt nach fällen anschauen.

z.b. -17 * 9 = -17 * (10 - 1) = -17 * 10 -17 * (-1) = -170 + 17 = -153

aus anwendungen

2.1. geld

wenn du 2 mal 10 euro gewinnst, macht das 20 euro gewinn
2 * 10 = 20

wenn du 2 mal einen verlust von 10 euro machst, macht das 20 euro verlust
2 * (-10) = -20

wenn du 2 mal einen gewinn von 10 euro verpasst, verpasst du 20 euro:
(-2) * 10 = (-20)

wenn du 2 mal einen verlust von 10 euro verpasst, gewinnst du (sozusagen) 20 euro:
(-2) * (-10) = +20

2.2. temperatur

positive vorgänge … erwärmung, z.b. +5°
negative vorgänge … abkühlung, z.b. -5°

3 * (+5°) = 15°
3 * (-5°) = -15°
(-3) * 5° = -15° (3 mal eine erwärmung von 5° nicht vollziehen macht in summe 15° weniger aus)
(-3) * (-5°) = 15° (3 mal eine abkühlung von 5° nicht vollziehen macht in summe 15° mehr aus)

2.3. geometrie

stell dir ein rechteck ABCD vor, mit AB auf der positiven x-achse und AD auf der positiven y-achse. dann sind AB und AD als strecken positiv gerichtet und die fläche ABCD liegt im gegenuhrzeigersinn (und damit „positiv“) vor. „plus mal plus macht plus“

liegt AB auf der pos. x-achse und AD „nach unten“ (negativ), ist die fläche ABCD im uhrzeigersinn orientiert: negativ. „plus mal minus gibt minus“

liegt AB auf der neg. x-achse und AD auf der positiven y-achse, ist die fläche auch neg. orientiert: „minus mal plus gibt minus“

liegen sowohl AB als auch AD auf den negativen teilen der achsen, ist ABCD wieder positiv (im gegenuhrzeigersinn) orientiert.

usw. usf.

zusammenfassend: die regel „minus mal minus ist plus“ bewährt sich also in vielfacher hinsicht, sowohl innerhalb der mathematik als auch in zahlreichen anwendungen. mit ihr zu leben stellt sich als viel einfacher heraus als gegen sie zu leben.

nützt das?

m.

maron · 14. November 2006 um 22:03

hi. erstmal vielen dank für die ausführliche antwort. ja, dass hilft
mir.

allerdings muss ich sagen, dass ich diese beispiele irgendwie witzig
finde erinnert doch sehr an:
„kaufen sie dieses messerset für 50,- euro und sie kriegen diese axt
(wert 20,- euro) kostenlos dazu. sie sparen also 20,- euro…“
meiner meineung bleibt das ausweichen eines verlustet nur ein „+/-
0“

das selbe für die temperatur, wenn es nicht 15 grad kälter wird, dann
bleibt es halt kostant s.h. nicht 15 grad wärmer… ich befürchte
mich nicht klar genug auszudrücken, fidne die beiden bsp. halt etwas
komisch, aber wie ich schon gesagt habe, ich glaube es ist schwer ein
wirklich anschauliches beispiel zu finden um das zu erklären…

aber vielen dank, habe alle 6 antworten gelesen und mir die essenz
rausgezogen. bin jetzt schlauer

maron

wenn du 2 mal einen verlust von 10 euro verpasst, gewinnst du
(sozusagen) 20 euro:
(-2) * (-10) = +20

(-3) * (-5°) = 15° (3 mal eine abkühlung von 5° nicht
vollziehen macht in summe 15° mehr aus)

michael_f7f5bc · 15. November 2006 um 17:34

hi,

allerdings muss ich sagen, dass ich diese beispiele irgendwie
witzig
finde

gut. passt.

erinnert doch sehr an:
„kaufen sie dieses messerset für 50,- euro und sie kriegen
diese axt
(wert 20,- euro) kostenlos dazu. sie sparen also 20,-
euro…“
meiner meineung bleibt das ausweichen eines verlustet nur ein
„+/-
0“

wenn du das ganze als folge von vorgängen ansiehst, z.b.
(+5) + (-3) + (-7) + (+10) + (-3)
mit dem ergebnis
(+2)

und du nimmst die 2 * (-3) weg
also -2 * (-3)

dann ist das ergebnis (+8)
also: (+2) - 2 * (-3) = +2 +6 = +8

mir ist schon klar, dass „das wegnehmen / weglassen eines vorgangs“ sprachlich nicht völlig eindeutig ist.

hth
m.