Entschuldigung, hatte ich erst fehlgepostet, ich war leider im folgenden thread hängengeblieben! Nun also als „neues posting“.
Hey, Leute, bei meinem Onkel grade gesehen: ein ganz neuer Zugang zu den endlichen Summen von Potenzen der natürlichen Zahlen, und ich möchte das mal vorführen und allzu gerne von euch wissen, ob das richtig, bzw. was daran vielleicht falsch ist, wie ich das darstelle. Mal sehen, ob ich das selber verstanden habe.
Der Weg „geht“ über die ABLEITUNG der Potenzsummenformel, und ich möchte ihn hier am „zweiteinfachsten“ Beispiel, der Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n vorführen:
(Der „einfachste Fall“ ist ja die Summe 1+1+1+1+1+++++1, n-mal, = n)
Also, gesucht die Summe 1+2+3+++n = S{m};1,m,n also für m von 1 bis n. Das ist ja die Summe der Funktionswerte der Funktion f(t) = [m+1]*t^m für t=1 und m von 0 bis n+1.
Und das ist die Summe der Funktionswerte der Ableitung der Funktion g(t) = t^[m+1]. Also, nach der „Zinsformel“ (?), nämlich daß 1+q+q^2+q^3+q^4+++++q^n = (1-q^[n+1])/(1-q) ist, die Ableitung von
h(t)=(t^[n+1]-1)/(t-1) an der Stelle t=1. Das gibt sicherlich Probleme, weil ja bei t=1 für h(t) = „0/0“ herauskommt, aber der Erfolg macht mir Mut, und „das geht mit Hôpital!“ meint mein Onkel.
Nun h(t) einfach mal ableiten:
h´(t) = {[t-1]*[n+1]*t^n - (t^[n+1] -1)*1}/[t-1]^2 =
([n+1]*t^[n+1] - [n+1]*t^n - t^[n+1] +1)/[t-1]^2 =
(n*t^[n+1] - [n+1]*t^n +1)/[t-1]^2, aber das gibt ja tatsächlich für alle n und t=1 eben 0/0 !
Kennt ihr die „Regel von Hôpital“? In solch einem Fall muß mAN NÄMLICH Zähler und Nenner getrennt ableiten, so oft, wie dies „blöde“ 0/0 herauskommt an der betreffenden Stelle! Mein Onkel hat mir das mal graphisch erklärt, ist ganz einfach!
Also los:
„Hôpital1“ von h(t) ist also gleich
([n+1]*n*t^n - n*[n+1]t^[n-1])/2[t-1] gibt immer noch 0/0, also:
„Hôpita 2“ von h(t) gibt:
([n+1]*n^2*t^[n-1] - n*[n+1]*[n-1]t^[n-2])/2 und „nun gehts“, wenn man jetzt t=1 einsetzt, erhält man ja
([n+1]*n^2 - n*[n+1]*[n-1])/2 = (n^3 +n^2 - n^3 +n)/2 = (n^2+n)/2 = n*(n+1)/2, die bekannte Formel, die Gauß glaubich als Schüler schon gefunden hat, natürlich auf viel einfacherem Wege.
Und warum nun dieser nur kompliziertere Weg? Na, weil man diesen Weg für ALLE Potenzen gehen kann! Und sogar „andersherum“ für die sogenannten „Riemannschen Summen“ (sag ich das richtig?), sogar schon für „endliche Riemannsche Summen“, sagt mein Onkel. Man muß nur wissen, daß (t^[m-1])/m die Ableitung ist von t^m. Da muß man nur die endliche und auch die unendliche Reihe „aufleiten“. Da kommen nur „Integrale ohne Stammfunktion“ heraus, sagt er,„die man numerisch lösen muß, aber nicht immer kann“.
Ich bin nun gespannt, was ihr dazu sagt und ob ich blöde Fehler gemacht habe eben, auf „meine Weise, das darzustellen“.
Ich habe gehört, daß vor einiger Zeit hier im Forum mal nach der Entwicklung der Formel für die „Quadratesumme“ gefragt wurde, und daß da einer auch eine bestimmte Methode „für alle Potenzen der nat. Zahlen“ vorgestellt hat. Nun bin ich ja besonders gespannt, ob er dies liest und wie er das findet.
„Dieser „funktionentheoretischen Weg“ oben ist meines Wissens in der Literatur noch nicht bekannt“, mein mein Onkel, und der IST „Mathematiker“. Ganz verstanden habe ich das noch nicht, ihr?
Den „einfachsten Fall“ von Gauß kennt ihr doch, oder?
1+2+3++++[n-1]+n = n+[n-1]+++++3+2+1, und wenn man die beiden gleichen Summen untereinanderschreibt, erhält man n mal [n+1] als doppeltes der gesuchten Summe. Oder man „baut 2 gleiche Treppen“ und legt sie "überkopf aneinander zu einem Quadrat. Das kann man auch entsprechend mit der Quadratesumme machen, durch Pyramidenbau und Volumenberechnungen. So etwas meine ich immer mit „anschauliche Herleitung“! Dabei geht es nur am Rande um Schaf[f]e und Häusle!
Vor allem die Verbindung verschiedenster Gebiete der Mathematik wie Analysis, Numerik, Geometrie usw.
Nun habe ich euch aber bestimmt schon wieder vielzuviel genervt!
Ich wünsche uns allen ein schönes Wochenende!
Liebe Grüße, eure Kuddel.
Ps.: sagt mir bitte bescheid, wenn ich zu viel „rumspinnen“ sollte: mir wird langsam selbst klar, daß ich ein klein wenig tüddelich bin. Geht euch das allen manchmal auch so?
)
t^[m-1])/m