hi,
folgendes problem:
Zeigen Sie: Die Vektoren eines Orthogonalsystem aus nicht verschwindenden Vrktoren im R^n (n=1,2,…) sind linear unabhängig.
thx
hama
Zeigen Sie: Die Vektoren eines Orthogonalsystem aus nicht
verschwindenden Vrktoren im R^n (n=1,2,…) sind linear
unabhängig.
Indirekter Beweis. Angenommen, ich habe ein O-System v_1 … v_n, von dem ein Vektor nicht linear unabhängig ist. oBdA sei das mal v_1. Dann gilt:
v_1 = summe(i=2…N) alpha_i v_i
mit irgendwelchen Skalaren alpha_i. Dann ist aufgrund der Orthogonalität
(v_1, v_1) = (summe(i=2…N) alpha_i v_i, v_1)
= summe(i=2…N) alpha_i (v_i, v_1)
Da das ganze ein Orthogonalsystem ist, verschwindet die rechte Seite. Da die Vektoren aber nicht verschwinden sollten, verschwindet die linke Seite nicht. Widerspruch und fertig.
Chris