Hallo,
gegeben sei eine nichtlineare DGL der Ordnung n mit y^[n]=f(y,y’,…,y^[n-1]), wobei y’: R->R^n und y: R->R^n.
Dann kann man doch Hilfsfunktionen einführen und so eine Funktion h basteln, die von R^(n*n)->R^(n*n) in nur noch DGLs erster Ordnung transformiert.
Nun könnte man doch auf jede der n*n Komponentenfunktionen Picard-Lindelöff anwenden und würde so durch eine Iteration (Picard-Operator) jede Komponentenfunktion bekommen bzw. annähern, oder?
Falls natürlich alle Komponentenfunktionen hinreichend oft stetig diffbar sind.
Und die Abhängigkeit der einzelnen Kompontenfunktionen durch die Transformation würde sich dadurch ausdrücken, dass jede Komponente Folgenglieder der anderen Komponenten enthält, aber da man ja genug Gleichungen bekommt, indem man nacheinander in jeder Komponente durch den Picard-Operator Gleichungen generiert, mit denen man dann jeweils die nächsten Folgenglieder in jeder Komponente erhält und dann muss man wieder in jeder Komponente den Picard-Operator anwenden usw.
Macht das Sinn?
Oder ist das obige falsch und man darf den Picard-Operator nicht einfach Komponentenweise anwenden und so „partiell“ operieren?
Im linearen Fall ist das klar, da kann man Matrizen anwenden, aber speziell der nichtlineare Fall ist interessant.
Vielen Dank für eine Antwort