Nichtstandardanalysis, Zenonparadoxie, Kontinuum

Wissenschaft Physik
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Hallo Leute,

in einem anderen Board hatte jemand nach den Zenonparadoxien gefragt (insbesondere ob 1/2 hoch n konvergiert). Nun meine Fragen:

  1. Wieso ist die Standardanalysis besser?
  2. Die klassische Infinitesimalrechnung hat Schwächen, welche sind Euch bekannt?
  3. Alternative Modelle.
  4. Wieso kann die Nonstandardanalysis das Problem auch nicht lösen?

Mein Lieblingseinwand: Ang. R ist das Kontinuum. Stellen wir uns eine Stecke der Länge 1 vor. Wir teilen sie in der Mitte. was passiert mit dem Punkt 0,5? Er kann nicht bei beiden neuen Strecken dabeisein. Bei einer Strecke fehlt der Endpunkt. Also bietet R kein angemessenes Modell eines Kontinuums.
Die Nonstandardanalysis kann hier auch nicht helfen, weil die ja einfach noch mehr Punkte hinzufügt. aber auch da ist dann wieder das Problem, daß die Endpunkte fehlen.
Ich bitte um Entgegnungen.

Grüssle,
Markus

p.s. gerne auch sehr technische, ich bin mit der konstruktion von R* vertraut.

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hi markus,
fein, dass du die diskussion hier eröffnet hast.

in einem anderen Board hatte jemand nach den Zenonparadoxien
gefragt (insbesondere ob 1/2 hoch n konvergiert). Nun meine
Fragen:

  1. Wieso ist die Standardanalysis besser?
  2. Die klassische Infinitesimalrechnung hat Schwächen, welche
    sind Euch bekannt?
  3. Alternative Modelle.
  4. Wieso kann die Nonstandardanalysis das Problem auch nicht
    lösen?

du weißt, dass ich bei der verwendung der lösung (im anderen brett) standard-methoden angewendet hab. ich kenn mich auch mit non-standard-methoden nicht wirklich aus und würd gern was lernen.

zu deiner frage 1:
ich weiß nicht, ob standard-analysis besser ist; sie ist aber relativ gut geeignet, über grenzwerte reale prozesse zu behandeln. tatsächlich wissen wir, dass achilles die schildkröte überholt, und wir können das mit standard-grenzwertberechnungen auch gut berechnen.

dabei wird natürlich kontiuum angenommen. nun lehrt die moderne physik (wenn ich das richtig verstanden hab, aber da bin ich mir nicht so sicher), dass evtl. gar kein kontiunuum existiert. weder als masse, noch als energie, noch als raum, noch als zeit. aber das macht eigentlich nichts. mathematische modelle sind eben modelle; sie stimmen nie (oder fast nie) ganz mit der „wirklichkeit“ überein; und solange die standard-analysis brauchbare, realistische lösungen liefert, nähert sie die wirklichkeit gut genug an. da isses dann ziemlich wurscht, ob die wirklichkeit kontinuierlich ist oder nicht.

zu deiner frage 2:
naja: eine gewisse schwäche mag wohl die annahme von kontinuum sein. da ist die standard-analysis doch gedanklich irgendwie noch im mittelalter verhaftet, das auch „natura non facit saltus“ lehrte. natura facit saltus wissen wir heute. (klar, weiß eh: auch die standard-analysis behandelt unstietigkeit u.dgl.; aber immer irgendwie als sonderfälle. „interessant“ ist stetiges und differenzierbares.)

aber diese schwäche ist doch eher eine theoretische … es ist eben praktisch, an ein kontinuum zu denken und macht manches einfacher.

zu deinen fragen 3 und 4 kann ich noch nix sagen.

Mein Lieblingseinwand: Ang. R ist das Kontinuum. Stellen wir
uns eine Stecke der Länge 1 vor. Wir teilen sie in der Mitte.
was passiert mit dem Punkt 0,5? Er kann nicht bei beiden neuen
Strecken dabeisein. Bei einer Strecke fehlt der Endpunkt. Also
bietet R kein angemessenes Modell eines Kontinuums.

das argument versteh ich nicht. warum ist das ein problem? warum ist das ein argument gegen das kontiuum?

Die Nonstandardanalysis kann hier auch nicht helfen, weil die
ja einfach noch mehr Punkte hinzufügt. aber auch da ist dann
wieder das Problem, daß die Endpunkte fehlen.
Ich bitte um Entgegnungen.

interessant wäre evtl. ein mathematisches modell der endlichkeit. mit zwar vielen zahlen, auch sehr großen, aber eben endlich vielen. gibts meines wissens auch schon. jeder computer verfügt z.b. nur über endlich viele zustände. die genaue arithmetik des computers ist also z.b. eine endliche arithmetik.
aber leider kenn ich mich da nicht aus.

was im rahmen dieser überlegungen vielleicht obsolet wird: das allzu theoretische grübeln über kontiummumshypothesen u.dgl. - wenn eh alle wirklichkeit endlich ist.

m.

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Hallo Michael!

> zu deiner frage 1:
> ich weiß nicht, ob standard-analysis besser ist; sie ist aber
> relativ gut geeignet, über grenzwerte reale prozesse zu
> behandeln. tatsächlich wissen wir, dass achilles die schildkröte
> überholt, und wir können das mit standard-grenzwertberechnungen
> auch gut berechnen.

Ganz ohne Frage: Standardanalysis schlägt sich in der Praxis sehr gut; mit ihr hat sich die moderne Technik entwickelt.
Es sind zwei Fragen:
Die meisten interessiert wohl: Würde vieles mit z.B. Non-Standardanalysis nicht noch besser gehen?
Es interessiert aber auch: Gibt es Argumente für Theoriemängel der Standardanalysis?

> dabei wird natürlich kontiuum angenommen.

Was verstehst Du darunter?

> nun lehrt die moderne
> physik (wenn ich das richtig verstanden hab, aber da bin ich mir
> nicht so sicher), dass evtl. gar kein kontiunuum existiert.
> weder als masse, noch als energie, noch als raum, noch als zeit.

Oach, wenn Du Dich in diesem Bereich auskennst o.k. Aber ich zumindest habe da nur poplärwissenschaftliches Hörensagen zu bieten.

> aber das macht eigentlich nichts. mathematische modelle sind
> eben modelle; sie stimmen nie (oder fast nie) ganz mit der
> „wirklichkeit“ überein; und solange die standard-analysis
> brauchbare, realistische lösungen liefert, nähert sie die
> wirklichkeit gut genug an. da isses dann ziemlich wurscht, ob
> die wirklichkeit kontinuierlich ist oder nicht.

Wenn das Modell erklären soll, wie Strecken geteilt werden, dies das Modell aber nicht kann, dann hat das Modell ein Problem :smile:

> :Mein Lieblingseinwand: Ang. R ist das Kontinuum. Stellen wir
> :uns eine Stecke der Länge 1 vor. Wir teilen sie in der Mitte.
> :was passiert mit dem Punkt 0,5? Er kann nicht bei beiden neuen
> :Strecken dabeisein. Bei einer Strecke fehlt der Endpunkt. Also
> :bietet R kein angemessenes Modell eines Kontinuums.
>
> das argument versteh ich nicht. warum ist das ein problem? warum
> ist das ein argument gegen das kontiuum?

Etwas, das den Namen „Kontinuum“ verdient, müsste doch garantieren, daß jede Strecke Endpunkte hat.

> was im rahmen dieser überlegungen vielleicht obsolet wird: das
> allzu theoretische grübeln über kontiummumshypothesen u.dgl. -
> wenn eh alle wirklichkeit endlich ist.

Dann sind die natürlichen Zahlen nicht geeignet, fünf Äpfel zu zählen!

Zur Konstruktion:
Die Methode der Konstruktion von Nicht-standardmodellen: füge unendlich viele Formeln zum Axiomensystem A hinzu von der Art NICHT n=0, NICHT n=1, NICHT n=2, … oder n>0, n>1, n>2, erhalte Axiomensystem B. Wenn A ein Modell hat, dann auch B (Satz von Skolem: Es gibt ein Nicht-standardmodell der Arithmetik) und deren Strukturen sind elementar äquivalent (d.h. es gelten die gleichen Sätze darin! Also es kann schonmal nicht sein, das die Nonstandardanalysis andere Ergebnisse liefert).
Leider hab ich keine detailierte Darstellung bezüglich R* zur Hand: Im Buch Ebbinghaus et al: Zahlen. Spinger-Verlag. S.259 wird IMHO eine andere Konstruktion verwendet: Einbettung von R in den Ring aller reellen Folgen. R*:= R/M mit a=b mod M :gdw a-b in M (M maximales Ideal in R, das die Folgen umfasst, die fast überall Null sind.)

Grüssle,
Markus

4

Hallo ihr fleissigen Debattierer und Philosophen.

Ob man mit den Mitteln der Nichtstandardanalysis wirklich weiter kommt hängt u.a. davon ab wie do… äh schlau man sich dabei anstellt. Nehmen wir als Beispiel die Erkenntnisse der Zahlentheorie: die finden in der Kryptographie hervoragende Verwendung. Allerdings ist es noch nicht so, dass die Formel {Menge der Erkenntnisse der Zahlentheorie}={Menge der Anwendungen der Kryptographie} gilt. Zumindest noch nicht :wink:

Man bemerkt: solange ein Modell passt wird es nicht geändert. Im schlimmsten Fall wird es um andere Perspektiven erweitert. Deswegen konvergiert 1/2 hoch n in der Standardanalysis doch auch und 4+4=3 wenn modulo 5 gerechnet wird

Jetzt komme ich noch kurz auf das Beispiel mit der geteilten Strecke: der Punkt 0.5 (oder irgendein anderer ohne dir Extrempunkte) gehört zwangsläufig zu EINER der beiden Strecken, nicht zur anderen („Meine Güte, wenn ich 10 Leute habe gehören Person 1 bis 5 zu Gruppe 1 und Person 6 bis 10 zu Gruppe 2“). Von daher ist R doch (noch) ein vollständiges Kontinuum.
Zumindest hoffe ich mal, dass diese naive Erklärung den Kern der Sache trifft.

mfg M.L.

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Hallo Markus,

Ob man mit den Mitteln der Nichtstandardanalysis wirklich
weiter kommt hängt u.a. davon ab wie do… äh schlau man sich
dabei anstellt. Nehmen wir als Beispiel die Erkenntnisse der
Zahlentheorie: die finden in der Kryptographie hervoragende
Verwendung. Allerdings ist es noch nicht so, dass die Formel
{Menge der Erkenntnisse der Zahlentheorie}={Menge der
Anwendungen der Kryptographie} gilt. Zumindest noch nicht :wink:

ja, sicher dat. Aber Standardmodelle und Nichtstandardmodelle sind beweisbar elementar äquivalent, d.h. es gilt nach Beweis, daß
{Menge der Erkenntnisse der Standardanalysis}={Menge der Anwendungen der Nicht-Standardanalysis} und {Menge der Erkenntnisse der Nicht-Standardanalysis}={Menge der Anwendungen der Standardanalysis}, sofern es überhaupt Sinn macht, zwischen Anwendung und Erkenntnis zu unterscheiden.

Man bemerkt: solange ein Modell passt wird es nicht geändert.
Im schlimmsten Fall wird es um andere Perspektiven erweitert.
Deswegen konvergiert 1/2 hoch n in der Standardanalysis doch
auch und 4+4=3 wenn modulo 5 gerechnet wird

ja schon, aber in der Nonstandardanalysis auch.

Jetzt komme ich noch kurz auf das Beispiel mit der geteilten
Strecke: der Punkt 0.5 (oder irgendein anderer ohne dir
Extrempunkte) gehört zwangsläufig zu EINER der beiden
Strecken, nicht zur anderen

Tja, und dann hat man ein Problem: die Strecke nämlich, zu der 0.5 nicht gehört hat keinen Abschluß, d.h. man kann ihre Länge nicht mit 0.5 angeben. Der Einwand, daß man da bei 0.5 ein Häufungspunkt ist, trifft zwar zu, hilft aber nicht, denn nach Voraussetzung ist dieser Häufungspunkt kein Teil der Strecke.
Und: Offenbar hat dann eine der Stecken einen Punkt mehr - und wer kann entscheiden welche der beiden?
Deswegen hat jedes Punktmodell des Kontinuums ein Problem.

Zumindest hoffe ich mal, dass diese naive Erklärung den Kern
der Sache trifft.

Ja, nämlich den Kern des Problems.
Grüssle,
Markus

6

hi markus,
ich tu mir mit der diskussion ein bisserl schwer. könntest du vielleicht anhand von 1, 2 beispielen erklären, was du unter non-standard-analysis verstehst? zahlentheorie (vgl. u.) ist für mich etwas durchaus standardhaftes.

wie gesagt: ich kenn mich da nicht aus und würd ganz gern was lernen.

können wir z.b. das zenonsche paradoxon als beispiel hernehmen?

Ob man mit den Mitteln der Nichtstandardanalysis wirklich
weiter kommt hängt u.a. davon ab wie do… äh schlau man sich
dabei anstellt. Nehmen wir als Beispiel die Erkenntnisse der
Zahlentheorie: die finden in der Kryptographie hervoragende
Verwendung. Allerdings ist es noch nicht so, dass die Formel
{Menge der Erkenntnisse der Zahlentheorie}={Menge der
Anwendungen der Kryptographie} gilt. Zumindest noch nicht :wink:

Tja, und dann hat man ein Problem: die Strecke nämlich, zu der
0.5 nicht gehört hat keinen Abschluß, d.h. man kann ihre Länge
nicht mit 0.5 angeben. Der Einwand, daß man da bei 0.5 ein
Häufungspunkt ist, trifft zwar zu, hilft aber nicht, denn nach
Voraussetzung ist dieser Häufungspunkt kein Teil der Strecke.
Und: Offenbar hat dann eine der Stecken einen Punkt mehr - und
wer kann entscheiden welche der beiden?
Deswegen hat jedes Punktmodell des Kontinuums ein Problem.

einen punkt „mehr“ ist bei endlichen dingen so viel wie nix, schon gar bei überabzählbaren / kontinuierlichen.
ich seh das problem immer noch nicht.

m.

7

Hallo Du Held der Zahlen :smiley:

Mit meinem Beispiel der Zahlentheorie war keine Überleitung zur Nichtstandardanalysis angedacht, sondern die These, dass eine Theorie, die für ein x-beliebiges System ‚passt‘, nicht geändert, sondern bestenfalls um andere Ansichten erweitert wird.
Was das Zenonsche Paradoxon angeht erweist sich google als Fundgrube: http://www.fbwi.de/article.php?sid=91 & http://www.google.de/search?hl=de&q=%22zenonsche+par…
Und die Nichtstandardanalysis ist noch nicht Teil des Lehrplans mathematischer Studiengänge an Uni’s und FH’s. Wohl eher in der Religion & Philosophie…

q.e.d. (=Qual, Elend, Demütigung)
mfg M.L.

8

Hallo Michael,

> hi markus,
> ich tu mir mit der diskussion ein bisserl schwer. könntest du
> vielleicht anhand von 1, 2 beispielen erklären, was du unter
> non-standard-analysis verstehst? zahlentheorie (vgl. u.) ist für
> mich etwas durchaus standardhaftes.

Also ich hab den Artikel mal rausgekramt:
W. Mac Laughlin: Eine Lösung für Zenons Paradoxien, in: Spektrum (nicht Bild!) der Wissenschaft, Januar 1995.
Worüber wir reden:
Eigentlich gibt es da ganz viele Nicht-Standardtheorien, wovon die Analysis nur eine ist, es gibt auch eine Mengentheorie. Aber ich tu mal so, als reden wir nur von naiver Analysis.
Es gibt in der NSA (Non-Standardanalysis; gegensatzt SA: Standardanalysis) zusätzliche Zahlen, „Infinitesimale“, die z.B. für Differentiale (dx) stehen sollen. Sei R* die Menge der Zahlen in NSA
R* hat 4 Sorten:
-Standardzahlen (also die normalen reellen Zahlen)

  • infinitesimale Standardzahlen: sie sind z.B. kleiner als alle x>0 aus R und größer als 0
  • gemischte NS-Zahlen (z.B. Addition von infinitesimalen Standardzahlen und Elementen aus R)
  • unebschränkte NS-Zahlen: größer bzw. kleiner als jedes x aus R (solche Zahlen bekommt man auch in der NS-Arithmetik mit dem Satz von Skolem).

BEISPIEL:

  1. Ein Stein wird fallengelassen. s=4,9 t^2 ist die Bewegungsgleichung. Berechne die augenblickliche Geschwindigkeit für t=1s.
    Zeitspanne: [1;1+dt]. Er bewegt sich dabei von 4,9(1)^2 bis 4,9(1+dt)^2. Insgesamt hat er sich um 9,8dt+4,9dt^2 bewegt. Geteilt durch dt erhält man die mittlere Geschwindigkeit: 9,8+4,9dt. (4,9dt ist nahezu Null). In SA müsste man hier mit der Epsilontik argumentieren, in NSA ergibt sich das natürlich.

  2. Zenon (leider bisher ungenau, mangels Ausführlichkeit des Artikels, und meiner knappen Zeit bzw. beschränkten Literatur):
    Sei a aus R der Grenzwert einer aufsteigenden Folge eines springenden Frosches *g* (wie unwirklich diese Beispiel doch ist!). Frage: Erreicht Frosch a?
    NSA-Antwort: Betrachte dazu [0;a(. Das Intervall muß NS-Zahlen und gemischte NS-Zahlen enthalten - unter anderem welche in der Umgebung von 1. Sei r_0 eine solche. Der Frosch nähert sich infinitesimal a an und dies ist nahezu a.
    Soviel zur Populärwissenschaft.

Um ehrlich zu sein, hapert es bei mir noch gewaltiglich. Ich verstehe einiges noch nicht. Wenn jemand das Kapitel über NSA im Buch „Zahlen“ von Ebbinghaus et al. versteht, wäre ich für Erläuterungen dankbar. z.B. Zusammenhang Skolemkonstruktion und der Konstruktion auf S.259; Erklärung von Zenon mittels der dort entwickelten Theorie.
Ich kann frühestens Ende nächster Woche mehr Zeit investieren.

> wie gesagt: ich kenn mich da nicht aus und würd ganz gern was
> lernen.

schau in das Buch!

Grüssle,
Markus

9

Hallo Markus,

Mit meinem Beispiel der Zahlentheorie war keine Überleitung
zur Nichtstandardanalysis angedacht, sondern die These, dass
eine Theorie, die für ein x-beliebiges System ‚passt‘, nicht
geändert, sondern bestenfalls um andere Ansichten erweitert
wird.

  1. Sie passt nach meinem Beispiel der Teilung einer Strecke eben nicht für jedes System.
  2. Selbst wenn: Nicht-Standardmodelle sind riecher, weil weitere Aussagen in ihr möglich sind (elementare Äquivalenz gilt nur in Bezug auf die Schnittmenge der Alphabete).
  3. Wegen 2. geben verschiedene Modelle verschiedene Intuiotionen.
  4. Dennoch unterscheiden sich die Rechenwege. (vgl. mein Beispiel mit dem Stein in meinem Post von eben).

Was das Zenonsche Paradoxon angeht erweist sich google als
Fundgrube: http://www.fbwi.de/article.php?sid=91 &
http://www.google.de/search?hl=de&q=%22zenonsche+par…

Ja und? Gibt es darunter eine korrekte Lösung?

Und die Nichtstandardanalysis ist noch nicht Teil des
Lehrplans mathematischer Studiengänge an Uni’s und FH’s.

Nicht des LehrPLANS aber der Lehre!
google ist Dein Freund:
http://www.google.de/search?hl=de&q=non-standardanal…
erster Treffer:
http://www.mathematik.uni-kl.de/~wwwfs/kvv/kvv_2004W…

Wohl
eher in der Religion & Philosophie…

da erst Recht nicht (was Curriculae angeht)!
Grüssle,
Markus