Hallo
Wir haben heute in der Algebra einen Abstecher in die Kategorien gemacht. Da hieß es, eine Kategorie bestehe aus einer
„collection of objects“
Auf die Frage, ob das denn nicht eine Menge wäre, sagte er „no“. Kann mir jemand sagen, was das dann ist? Es ist doch eine Ansammlung von Dingern, was ist das, wenn keine Menge? Dass es keine Menge ist, glaube ich ja, was aber dann? Und warum keine Menge?
Hallo,
das hängt mit dem Anspruch der Kategorientheorie zusammen, als Basis der Mathematik zu fungieren. Würde man Begriffe aus der Mengenlehre verwenden, könnte man diesem Anspruch nicht genügen 
. Weniger „politisch“ denkend gibt es sogenannte kleine Kategorien, bei denen es „mengenviele“ Morphismen und Objekte gibt.
Gruss
Enno
Hallo
Danke, das leuchtet ja auch irgendwie ein, Mengen sind ja auch Kategorien.
Hallo
Was das genau ist, hängt wohl von der „gewählten Mengenlehre“ ab.
Diese Kollektion kann zum Beispiel eine Klasse sein. Alle Mengen sind Klassen, aber es gibt auch Klassen, die keine Mengen sind. Klassen sind etwas salopp formuliert Sammlungen von Mengen (d.h. die Elemente sind selbst Mengen). Da passen die Kategorien wunderbar rein.
Um den Hintergrund der Unterscheidung zwischen Klassen und Mengen zu verstehen, muss man ein wenig in die Geschichte der Mathematik zurück gehen. Cantors ursprüngliche Definition von Menge war, dass eine Menge eine Sammlung (Collection) von realen Dingen und Dingen unserer Anschauung ist (frei zitiert). Dieser sehr umfassende Mengenbegriff führte zu einigen Problemen. Zum Beispiel kann man für jede Menge X sagen, ob sie selbst selbst Element von sich selbst ist oder nicht. Damit kann ich nun die Menge M derjenigen Mengen bilden, die nicht Element von sich selbst sind. Nun kann man sich fragen, ob M selbst in sich enthalten ist. Und man kommt raus, dass M genau dann in sich enthalten ist, wenn M nicht in sich enthalten ist, was logisch nicht wirklich auflösbar ist.
Die Entdeckung dieses Problemes führte dann dazu, dass man versuchte, den Mengenbegriff so zu gestalten, dass solche Phänomene nicht mehr möglich sind. Und eine Lösung ist dann eben zwischen Klassen und Mengen zu unterscheiden. Prinzipiell sind grosse Klassen (was das auch immer heisst) keine Mengen. Zum Beispiel existiert eben keine Menge aller Mengen oder keine Menge aller Gruppen, keine Menge aller Ringe,… um auf die Algebra zurückzukommen.
Ich hoffe, Dir damit eine wenig gezeigt zu haben, worum es hier geht.
Gruss Urs
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