Noch eins

Freizeit & Hobby Rätsel
#1

Hallo,

  1. die 10 Zahlen 1/1,1/2,1/3,…,1/10 werden notiert. Danach werden je zwei Zahlen a,b durch a+b+ab ersetzt (z.B. 1/1 und 1/3 durch 1/1+1/3+1/1*1/3=5/3). Mit den resultierenden 9 Zahlen wird analog verfahren, bis nur noch eine Zahl übrigbleibt (also nach insgesamt 9 Schritten). Welche Zahl ist das ?
  2. wie sieht die Lsg. für das analoge Problem für die 100 Zahlen 1/1,1/2,1/3,…,1/100 aus ?
  3. und wie für n Zahlen 1/1,1/2,1/3,…,1/n ?

Teillsg. sind erwünscht. Als kleiner Tip: man kann eine Invariante in Abhängigkeit von n bzw. der Ausgangszahlen finden, die über alle Schritte erhalten bleibt.

Gruss
Enno

#2

Hallo,

Die Summe zu 1) ist 10, die zu 2) 100 und die zu 3) n.
Es gilt immer:
1/n + 1/(n+1) + 1/n * 1/(n+1) = ((n+1)+n+1)/(n*(n+1)) = 2/n.
Im nächsten Schritt kommt hinzu:
2/n + 1/(n+2) + (2/n)*(1/(n+2)) = … = 3/n.
Oder allgemein:
m/n + 1/(n+m) + m/n * 1/(n+m) = (m*(n+m)+n+m)/(n*(n+m)) = (m+1)/n

In unserem Fall beginnen wir mit n=1 und erhöhen in jedem Rechenschritt die Gesamtsumme um 1.

Gruss

Vampy

#3

Perfekt
Hallo,
gefällt mir. Man müßte für einen 100% Beweis noch kurz argumentieren, warum die Auswahl der Elemente beim ersetzen gleichgültig ist aber das sieht man sehr leicht ein.

Gruss
Enno

#4

Alternative Lsg. via Invariante (Spoiler)
Hallo,
es gibt eine andere m.M. sehr elegante Art das Problem zu lösen. Betrachtet man a+b+ab und (1+a)(1+b)=1+a+b+ab so gelangt man zu einer Invariante, die bei allen Schritten der Berechnung konstant ist. Man bildet dazu das Produkt aus allen noch verfügbaren Zahlen ums ein erhöht. Genauer sind z.B. in irgendeinen Schritt die Zahlen

a1,a2,…,ak-2,a,b

verfügbar, betrachtet man

P=(1+a1)*(1+a2)*…*(1+ak-2)*(1+a)*(1+b)

Werden a,b zusammenfaßt verbleiben

a1,a2,…,ak-2,a+b+ab

und das zugehörige Produkt ist

Q=(1+a1)*(1+a2)*…*(1+ak-2)*(1+a+b+ab)

wg. (1+a)*(1+b)=(1+a+b+ab) ist P=Q, d.h. dieses Produkt nimmt immer dengleichen Wert an. Für das gesuchte letzte Element l ist es gerade 1+l. Zur Lsg. reicht es daher

(1+1/1)*(1+1/2)*…*(1+1/n)=2/1*3/2*…*(n+1)/n=n+1

zu bestimmen und Eins abzuziehen.

Gruss
Enno

#5

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#6

Hallo Pendragon,

Natuerlich bin ich das :smile: Es heisst schließlich über mich irgendwo im Internet „the one and only“…
Nach langer Zeit wieder aufgetaucht.

Vampy