Könntest du noch mal Schritt für Schritt
erklären was genau du meinst und in wiefern vereinfacht werden
muß um überhaupt Aussagen machen zu können.
Ich werd’s versuchen:
Der Wärmeaustausch zwischen zwei homogenen Phasen P1 und P2 (z.B. heißem Kaffee und der darüber stehenden Luft) mit den Temperaturen T1 und T2 wird durch das NEWTONsche Abkühlungsgesetz beschrieben. Dieses besagt, daß der Wärmefluß von P1 nach P2 proportional zur Temperaturdifferenz T12=T1-T2 und zur Phasengrenzfläche A12 zwischen den Phasen entspricht. Der Proportionalitätsfaktor k12 wird Wärmeaustauschkonstante genannt und ist für die Phasengrenze spezifisch. Mathematisch wird dies mit folgender Differentialgleichung dargestellt:
dQ<sub>1</sub>
--- = k<sub>12</sub>A<sub>12</sub>(T<sub>2</sub>-T<sub>1</sub>)
dt
Bei der Festlegung des Vorzeichens wird dabei der Systemstandpunkt eingenommen. Abgegebene Ärme ist also negativ.
Wenn keine endothermen oder exothermen Prozesse beteiligt sind, dann führt der Wärmeaustausch zu Temperaturänderungen in den beiden Phasen. Diese erhält man, indem man beide Seiten der Differentialgleichung durch die Wärmekapazität C1 bzw. C2 der jeweiligen Phase dividiert. Die Temperaturänderung der Phase P1 beträgt also
dT<sub>1</sub>
--- = k<sub>12</sub>A<sub>12</sub>(T<sub>2</sub>-T<sub>1</sub>)/C<sub>1</sub>
dt
Wenn es mehr als eine Phasengrenze gibt, dann wird die Angelegenheit etwas komplizierter. In diesem Fall muß man die die Wärmeabgabe einer Phase über all seine Phasengrenzen addieren. Grenzt die Phase P1 beispielsweise nicht nur an P2, sondern auch an weitere Phasen Pi, so fließt über all diese Phasengrenzen die Wärme
dQ<sub>1</sub>
--- = [k<sub>1i</sub>A<sub>1i</sub>(T<sub>i</sub>-T<sub>1</sub>)]
dt
Kompliziert wird es, wenn in den Phasen Prozesse ablaufen, die Wärme verbrauchen oder erzeugen. Dann muß man anstelle des NEWTONschen Abkühlungsgesetzes die TIAN-Gleichung heranziehen. Diese enthält nicht nur den Wärmeaustausch über die Phasengrenzen (den sogenannten Flußterm), sondern auch die Heizleistung p1 innerhalb der Phase P1:
dQ<sub>1</sub>
--- = [k<sub>1i</sub>A<sub>1i</sub>(T<sub>i</sub>-T<sub>1</sub>)]+p<sub>1</sub>
dt
Die Temperaturänderung einer Phase P1, die mit den Phasen Pi in Wechselwirkung tritt und in der sich eine Wärmequelle der Leistung p1 befindet, beträgt also
dT<sub>1</sub>
--- = {[k<sub>1i</sub>A<sub>1i</sub>(T<sub>i</sub>-T<sub>1</sub>)]+p<sub>1</sub>}/C<sub>1</sub>
dt
Diese Gleichung umfaßt alle Spezialfälle, die in Deinem Fall auftreten:
Das Gefäß, indem der Versuch stattfindet enthält keine Wärmequelle und die Wärmekapazität soll so groß sein, daß die temperatur sich nicht ändert.
Für das Argon muß der Wärmeaustausch zum Tigel und zum Metall berücksichtigt werden und als Wärmequelle erscheint die Aufheizung durch die adiabatische Kompression. Dabei ist zu berücksichtigen, daß der Druck und damit auch die Aufheizung Temperaturabhängig ist.
Etwas knifflig wird es bei der metallischen Phase. Solange die vollkommen fest oder flüssig ist, gilt das Newtonsche Abkühlungsgesetz, weil keine Wärmequellen vorhanden sind. Während des isobaren Schmelzens und Erstarrens ist das Gemisch aber isotherm, d.h. die Temperaturänderung ist Null. Dies ist dann der Fall, wenn die Phasenumwandlung den Wärmefluß über die Phasengrenzen zum Argon und zum Tigel komensiert:
0 = {[k1iA1i(Ti-T1)]+p1}/C1
Das Ganze kann nach der Heizleistung pMetall der Phasenumwandlung umgestellt werden und ergibt
pMetall = kMetall/ArgonAMetall/Argon(TArgon-TMetall)+kMetall/GefäßAMetall/Gefäß(TGefäß-TMetall)
Noch komplizierter wird es, wenn die Phasenumwandlung nicht isobar erfolgt. Dann bewegt sich das System entlang der fest/flüssig-Grenze im Phasendiagramm. Und die zeitliche Temperaturänderung beträgt
dT<sub>1</sub> dT<sub>1</sub> dp
--- = ---\*--- = {[k<sub>1i</sub>A<sub>1i</sub>(T<sub>i</sub>-T<sub>1</sub>)]+p<sub>1</sub>}/C<sub>1</sub>
dt dp dt
(dp ist hier die Druckänderung)
ganz davon abgesehen, daß es sehr schwer sein wird die Wärmeübergangskonstanten für Dein System zu ermittlen, ist die Berechnung vermutlich so kompliziert, daß es einfacher ist, das Ganze auszuprobieren.