Nochmal die Umformung, bitte!

Wissenschaft Physik
1

Bitte, bitte, kann mal jemand hierzu was sagen? Der Beitrag bliebt letztens leider vollkommen unbeantwortet… Und ich bekomme es alleine leider nicht auf die Reihe. Vielleicht fällt ja doch jemandem was dazu ein???

A und B sind Bilder mit Grauwerten xA bzw xB.
Sx? heißt im folgenden Summenzeichen über alle Grauwerte des Bildes ?.
p(xA) ist die Wahrscheinlichkeit des Grauwertes x imd Bild A (selbiges gilt für B)
p(xA,xB) ist die Wahrscheinlichkeit der Kombination der Grauwerte (d.h. p(xA,xB) ist die Wahrscheinlichkeit, dass dort wo in Bild A der Grauwert xA ist, sich in Bild B der Grauwert xB befindet)

Nun hab ich folgendes gegeben:

H(A) = -SxA (p(xA) * log( p(xA)) )
H(B) = -SxB (p(xB) * log( p(xB)) )
H(A,B) = -SxA SxB ( p(xA,xB) * log( p(xA,xB)) )
für alle gilt: 0 log 0 = 0

I = H(A) + H(B) - H(A,B)

und nun kann man I noch wie folgt berechnen:

I = SxA SxB ( p(xA,xB) * log ( p(xA,xB) / (p(xA)*p(xB))) )

aber ich kann nicht nachvollziehen, wie die zweite Variante ermittelt wurde. Kann man den Summen/Logarithmuskram irgendwie zusammenfassen??? letztere Berechnung erscheint mir nämlich weniger zeitaufwändig und daher würde ich gern eine ähnliche Berechnung so umformen…

2

Hi July!

Alllllllso, ich hab zwar null Ahnung, was Grauwerte sind, und was das im Zusammenhang mit Hs und Is bedeuten, aber ich versuche es mal rein mathematisch/stochastisch zusammenzuwurschteln. Vielleicht fällt Dir dann ja nachher noch eine passende Erklärung dazu ein… :smile:

Ich benutze die erste Formel für I und setze die Hs alle ein:

I = -Sa*pA*log(pA) - SB*pB*log(pB) + SAB*pAB*log(pAB)

Ich hoffe, Du weißt, was mit den Abkürzungen gemeint ist, mir ist das einfach nur zu langwierig zum schreiben. Ich klammere SAB aus:

I = SAB * (-(1/SB)*pA*log(pA) -(1/SA)*pB*log(pB) + pAB*log(pAB)

Dann Logarithmusgesetz x*log(y)=log(y^x):

I = SAB * (-log(pA^(pA/SB)) -log(pB^(pB/SA)) +log(pAB^pAB)

und Logarithmusgesetz log(x)-log(y)=log(x/y):

I = SAB * log(pAB^pAB/(pA^(pA/SB)*pB^(pB/SB)))

Da kann ich dann ein pAB aus dem Exponenten wieder nach vorne holen:

I = SAB * pAB * log(pAB/(pA^(pA/pAB*SB)*pB^(pB/pAB*SB)))

Durch Vergleich mit Deiner zweiten Formel für I ergibt sich als Bedingung:

pA/(pAB*SB) = 1 bzw. pB/(pAB*SA) = 1

Oder umformuliert (nur die erste Gleichung):

pA * 1/SB = pAB

Wenn ich davon ausgehe, dass die Wahrscheinlichkeiten der Grauwerte für A und B statistisch unabhängig sind (sind sie das?), würde gelten:

pA * pB = pAB

und damit

pB = 1/SB

Das klingt für mich ziemlich plausibel, denn die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Grauzustand zu finden, ist einfach 1 geteilt durch die Anzahl aller Grauzustände, wenn ich davon ausgehen kann, dass alle Grauwerte gleich wahrscheinlich sind (sind sie das?).

Wie gesagt, alles ohne Gewähr und ohne Ahnung von der Materie.

Ich hoffe, es hilft Dir weiter.

Ciao Christoph C>[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

3

Hi Christoph,

womöglich hab ich mich etwas unklar ausgedrückt. Du nimmst Sa als Summe im Sinne eines Wertes an, richtig?
Ich meinte aber damit das Summenzeichen(!) und das in Klammern soll das sein was summiert wird. Also heißt bei mir
Sa( pA*log(pA) ) = pA1*log(pA1) + pA2*log(pA2) + pA3*log(pA3) + … + pAn * log(pAn)
Ich nehm an, dass du das nicht so verstanden hast (kann ja kein Summenzeichen Ausklammern, oder?)

trotzdem vielen lieben Dank für Deine Mühe. Was die Formeln letzlich darstellen ist nicht so wichtig, ich wollte es auch nur rein mathematisch betrachtet haben. pA ist übrigens die Wahrscheinlichkeit mit der ein Grauwert in einem Bild (Graustufen) auftritt (also = nA/N). pAB ist die Wahrscheinlichkeit mit der Grauwert A aus Bild A und Grauwert B aus Bild B an der gleichen Stelle auftreten.

viele Grüße, July

Alllllllso, ich hab zwar null Ahnung, was Grauwerte sind, und
was das im Zusammenhang mit Hs und Is bedeuten, aber ich
versuche es mal rein mathematisch/stochastisch
zusammenzuwurschteln. Vielleicht fällt Dir dann ja nachher
noch eine passende Erklärung dazu ein… :smile:

Ich benutze die erste Formel für I und setze die Hs alle ein:

I = -Sa*pA*log(pA) - SB*pB*log(pB) + SAB*pAB*log(pAB)

Ich hoffe, Du weißt, was mit den Abkürzungen gemeint ist, mir
ist das einfach nur zu langwierig zum schreiben. Ich klammere
SAB aus:

I = SAB * (-(1/SB)*pA*log(pA) -(1/SA)*pB*log(pB) +
pAB*log(pAB)

Dann Logarithmusgesetz x*log(y)=log(y^x):

I = SAB * (-log(pA^(pA/SB)) -log(pB^(pB/SA)) +log(pAB^pAB)

und Logarithmusgesetz log(x)-log(y)=log(x/y):

I = SAB * log(pAB^pAB/(pA^(pA/SB)*pB^(pB/SB)))

Da kann ich dann ein pAB aus dem Exponenten wieder nach vorne
holen:

I = SAB * pAB * log(pAB/(pA^(pA/pAB*SB)*pB^(pB/pAB*SB)))

Durch Vergleich mit Deiner zweiten Formel für I ergibt sich
als Bedingung:

pA/(pAB*SB) = 1 bzw. pB/(pAB*SA) = 1

Oder umformuliert (nur die erste Gleichung):

pA * 1/SB = pAB

Wenn ich davon ausgehe, dass die Wahrscheinlichkeiten der
Grauwerte für A und B statistisch unabhängig sind (sind sie
das?), würde gelten:

pA * pB = pAB

und damit

pB = 1/SB

Das klingt für mich ziemlich plausibel, denn die
Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Grauzustand zu finden,
ist einfach 1 geteilt durch die Anzahl aller Grauzustände,
wenn ich davon ausgehen kann, dass alle Grauwerte gleich
wahrscheinlich sind (sind sie das?).

Wie gesagt, alles ohne Gewähr und ohne Ahnung von der Materie.

Ich hoffe, es hilft Dir weiter.

Ciao Christoph C>

4

Hi July

womöglich hab ich mich etwas unklar ausgedrückt. Du nimmst Sa
als Summe im Sinne eines Wertes an, richtig?
Ich meinte aber damit das Summenzeichen(!) und das in Klammern
soll das sein was summiert wird. Also heißt bei mir
Sa( pA*log(pA) ) = pA1*log(pA1) + pA2*log(pA2) + pA3*log(pA3)

  • … + pAn * log(pAn)
    Ich nehm an, dass du das nicht so verstanden hast (kann ja
    kein Summenzeichen Ausklammern, oder?)

Ich hab mir den Rechenweg nicht ganz angesehen, SAB soll woll eine Doppelsumme über a und b sein, wenn die Summen von i bis Ni laufen kannst du ja auch z.B. schreiben

SASB( pA\*log(pA) ) = SA ( pA\*log(pA) + pA\*log(pA) + A\*log(pA)....)
 = SA ( pA\*log(pA) \* ( 1 + 1 + 1 +....) )
 = NB \* SA pA\*log(pA)

SA ( pA\*log(pA) ) = 1/NB \* SASB( pA\*log(pA)

Christoph hat statt NB-> SB geschrieben das hat mich auch erst verwirrt…

Gruß

Sebastian