Wie komme ich nun aber bei der Funktion
x^3-2x^2-5x+6 auf die terme (x-3)(x-1)(x+2)
ihr könnt die berechnung der nullstellen vernachlässigen!!!
gruss basti
Wie komme ich nun aber bei der Funktion
x^3-2x^2-5x+6 auf die terme (x-3)(x-1)(x+2)ihr könnt die berechnung der nullstellen vernachlässigen!!!
Da gibt es einen wunderbaren Zaubertrick, den man Horner-Schema nennt.
Dazu schreibt man zunächst die Koeffizienten des Polynoms auf:
1 -2 -5 6
Dann schreibt man unter den ersten Koeffizienten eine Null und links daneben schreibt man die Zahl, für die man den Funktionswert ausrechnen möchte:
1 -2 -5 6
0
-2
Jetzt addiert man von links beginnend zu jedem Koeffizienten die darunter stehende Zahl, schreibt das Ergebnis in die dritte Reihe, mulitipliziert es mit der links stehenden Zahl und schreibt das Produkt unter den nächsten Koeffizienten:
1 -2 -5 6
0 -2
-2 1
1 -2 -5 6
0 -2 8
-2 1 -4
1 -2 -5 6
0 -2 8 6
-2 1 -4 3
1 -2 -5 6
0 -2 8 6
-2 **1 -4 3** 0
Wenn die Zahl, die wir an die linke Seite geschrieben haben eine Nullstelle des Polynoms war, dann erhalten wir rechts unten auch als Funktionswert eine Null. Dieses Verfahren ist aber nicht nur eine einfache Möglichkeit, den Funktionswert eines Polynoms zu berechnen, sondern es liefert uns gleichzeitig die Koeffizienten des reduzierten Polynoms, die ich fett markiert habe. In unserem Fall erhalten wir also
x^3-2x^2-5x+6 = (x+2)(x2-4x+3)
Mit diesem reduzierten Polynom können wir das Hornerschema fortsetzen:
1 -4 3
0 3 -3
3 **1 -1** 0
x^3-2x^2-5x+6 = (x+2)(x-3)(x-1)
Jetzt müssen wir nur noch wissen, woher wir die Nullstellen nehmen (die links unten in das Horner-Schema geschrieben werden). Hier können wir uns die Tatsache zunutze machen, daß alle ganzzahligen Nullstellen des Polynoms Teiler des linearen Gliedes sein müssen. Wenn das Polynom x^3-2x^2-5x+6 also ganzzahlige Nullstellen hat, dann verstecken sie sich unter den zahlen -6,-3,-2,-1,1,2,3 und 6. Ganzzahlige Nullstellen können wir also durch sinnvolles Probieren ermitteln. Hat das Polynom keine ganzzahligen Nullstellen, dann helfen bei Polynomen bis vierten Grades die gängigen Lösungsformeln und darüber hinaus nur Näherungsverfahren.
Wie komme ich nun aber bei der Funktion
x^3-2x^2-5x+6 auf die terme (x-3)(x-1)(x+2)
Wenn es eine gestellte Aufgabe ist, also genug „gute“ Nullstellen vorkommen sollten, dann einfach alle Teiler des konstanten Terms durchprobieren (auch die negativen). Danach greifen so Techniken wie Polynomdivision,…
Es gibt f"ur dritten Grad auch noch Berechnungsformeln, allerdings ist das nur zu empfehlen, wenn Du sehr fit in komplexen Zahlen bist.
Praktisch ist das wieder eine andere Geschichte, N"aherungsverfahren gibt es viele, Stichworte sind Newton, Uspensky (auch wenn es das Vincent-Verfahren ist), Homotopieverfahren, Kurvenverfolgung,…
Und Nein, ausserhalb von Spielzeugaufgaben gibt es keine direkten Vorgehensweisen.
Ciao Lutz
PS: Ich hoffe Dir ist Klar, dass Nullstellensuche und Linearfaktorzerlegung das selbe sind.
> 1 -2 -5 6
> 0 -2 8 6
> -2 **1 -4 3** 0
Nur daß Du hier einen Vorzeichenfehler drin hast: 3*-2 sind -6…
Was am Prinzip natürlich nichts ändert, aber hier ein anderes Ergebnis liefert.
Gruß, Kubi