Nochmals Wahrscheinlichkeiten

Wissenschaft Mathematik
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Hallo zusammen
Sorry dass ich Euch heute so oft mit Fragen bombadiere. Aber ich komme schon wieder nicht weiter bei folgender Aufgabe:

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person den Arbeitsweg mit den öffentlichen Verkehr zurücklegt, ist 80%.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, die den Arbeitsweg mit
dem öffentlichen Verkehr zurücklegt, ein Auto besitzt, ist 50%.

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person ein Auto besitzt und trotzdem den Arbeitsweg mit den öffentlichen Verkehr zurücklegt?

Hier handelt es sich ja nicht um unabhängige Ereignisse. Als erstes habe ich die 50% mit Auto und ÖV auf die Gesamtmenge gerechnet = 40%

Dann habe ich die Annahme getroffen, dass die restlichen 20% welche den ÖV nicht benützen ein Auto haben müssen.

So bin ich zu folgender Lösung gelangt:
P(A) = 80% (Personen die ÖV nehmen)
P(A|B = 40% (Personen die ÖV nehmen und Auto haben)
P(B) = 60% (Personen die Auto haben)
P© = 20% (Personen die nicht ÖV nehmen und Auto haben)

  1. Danach habe ich die 40% / 60% = 0.6666…
    Dies wäre die Wahrscheinlichkeit der Personen die Auto haben und ÖV nehmen)

  2. Zur Kontrolle habe ich die 20% / 60% = 0.333…
    Dies wäre die Wahrscheinlichkeit der Personen die Auto haben und nicht ÖV nehmen).

Ergebnis 1 und 2 zusammengezählt ergäbe ja 0.99999 also 1

Könnt ihr mir sagen ob ich das richtig hätte?

Danke und Gruss
Bruno

Zum prüfen haben ich die 20%

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hi,

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person den Arbeitsweg mit
den öffentlichen Verkehr zurücklegt, ist 80%.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, die den Arbeitsweg
mit
dem öffentlichen Verkehr zurücklegt, ein Auto besitzt, ist
50%.

mach einen wsk-baum:

 .
 / \
 Öffi 0,8 / \
 / \ auto?
 . c 0,2
 / \
 mit Auto / \ kein auto
 0,5 / \ 0,5
 a b
 0,4 0,4

d.h.:
a) 40% fahren öffi und haben ein auto.
b) 40% fahren öffi und haben kein auto
c) 20% fahren nicht öffi. ob sie ein auto haben, wissen wir nicht.

m.a.w.:
mindestens 40% haben ein auto (wenn alle nicht-öffi-fahrer keines haben).
höchstens 60% haben ein auto (wenn alle nicht-öffi-fahrer eines haben.)

wenn 40% ein auto haben (nur a), fahren alle autofahrer (100%) mit dem öffi.
wenn 60% ein auto haben (a und c), fahren exakt 2/3 der autofahrer mit dem öffi.

der prozentsatz derer, die ein auto haben und öffi fahren, bewegt sich also zwischen 66,66…% und 100%.

Hier handelt es sich ja nicht um unabhängige Ereignisse. Als
erstes habe ich die 50% mit Auto und ÖV auf die Gesamtmenge
gerechnet = 40%

richtig.

Dann habe ich die Annahme getroffen, dass die restlichen 20%
welche den ÖV nicht benützen ein Auto haben müssen.

meines erachtens nicht gerechtfertigt. wir wissen über deren autobesitz nix.

So bin ich zu folgender Lösung gelangt:
P(A) = 80% (Personen die ÖV nehmen)
P(A|B = 40% (Personen die ÖV nehmen und Auto haben)
P(B) = 60% (Personen die Auto haben)
P© = 20% (Personen die nicht ÖV nehmen und Auto haben)

  1. Danach habe ich die 40% / 60% = 0.6666…
    Dies wäre die Wahrscheinlichkeit der Personen die Auto haben
    und ÖV nehmen)

  2. Zur Kontrolle habe ich die 20% / 60% = 0.333…
    Dies wäre die Wahrscheinlichkeit der Personen die Auto haben
    und nicht ÖV nehmen).

Ergebnis 1 und 2 zusammengezählt ergäbe ja 0.99999 also 1

m.e. behandelt deine lösung nur den spezialfall, dass alle, die nicht öffi fahren, autobesitzer sind. das ist nicht denknotwendig.

m.

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Hallo.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person den Arbeitsweg mit
den öffentlichen Verkehr zurücklegt, ist 80%.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, die den Arbeitsweg
mit dem öffentlichen Verkehr zurücklegt, ein Auto besitzt, ist 50%.

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person ein
Auto besitzt und trotzdem den Arbeitsweg mit den öffentlichen
Verkehr zurücklegt?

michael hat es Dir bereits richtig gelöst, aber noch ein paar Anmerkungen. Es ist eine typische Bedingte-Wahrscheinlichkeit-Aufgabe. Bei diesen kommt die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit zur Anwendung, die Du draufhaben musst:

p(B|A) = \frac{p(A\cap B)}{p(A)}

Jetzt gilt es, die Angaben in der Aufgabe korrekt zuzuordnen. Hier ist

A = „Nutzt den ÖV“
B = „Besitzt Auto“
A ∩ B = „Nutzt den ÖV und besitzt Auto“

Als bedingte Wahrscheinlichkeit p(B|A) bezeichnet man dann die Wahrscheinlichkeit, dass eine unter allen Nutzern des ÖV (dies ist die Vorauswahl ⇒ A = „ÖV-Nutzung“ ist die Bedingung) zufällig herausgeriffene Person ein Auto besitzt. Diese Wahrscheinlichkeit ist in Deiner Aufgabe nun nicht gesucht, sondern gegeben: p(B|A) = 0.5. Außerdem ist p(A) gegeben: p(A) = 0.8. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit p(A ∩ B), die sich nach der obigen Formel als Produkt aus p(B|A) und p(A) ergibt.

Die Superkurzfassung der Lösung Deiner Aufgabe sieht damit so aus:

p(A \cap B) = p(B|A) \cdot p(A) = 0.5 \cdot 0.8 = 0.4

Mehr gibt es nicht zu tun :smile:

Gruß
Martin