Norm des Eins-Elements

Wissenschaft Mathematik
1

Hallo,

wenn ich einen Koerper mit einer Norma |a| definiert habe, kann man relativ leicht zeigen, dass die Norm des Eins-Elements groesser gleich 1 ist. Gibt es irgend eine Einschraenkung, dir mir sagt, dass die exakt gleich 1 sein muss?

Gruesse,
Moritz

2

Nachtrag

wenn ich einen Koerper mit einer Norma |a| definiert habe,
kann man relativ leicht zeigen, dass die Norm des
Eins-Elements groesser gleich 1 ist.

… zumindest wenn man annimmt, dass die Ungleichung |xy| >= |x|*|y| gilt, von der ich im Moment auch nicht weiss wie allgemein sie ist.

Gruesse,
Moritz

3

Hi Moritz,

Wenn V der Vektorraum über dem Körper K ist, dann ist ||.|| eine Norm, wenn u.a. gilt: ||c*v|| =|c|*||v|| für alle c aus K und v aus V, aber nicht ||v*w|| >= ||v||*||w|| füe alle v,w aus V.

Da K ein Körper ist, existiert ein neutrales Element 1 für das 1*v = v für alle v aus V gilt.

Also: |1|*||v|| = ||1*v|| = ||v|| |1| = 1

Grüße,
JPL

4

Hi Moritz !

Falls du die Cauchy-Schwarz-Ungleichung meinst, dann hast du das Relationszeichen falsch im Kopf.
Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung gilt in jedem Prähilbertraum.

hendrik

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

5

Hallo,

wenn ich einen Koerper mit einer Norma |a| definiert habe,

du sprichst von der Körpernorm[1] – oder meinst du einen Vektorraum, der nur zufällig ein Körper ist?

[1] vgl. etwa

–
PHvL