Hi,
Die Ebene E ist festgelegt durch g: x= (-1/1/1)+t*(2/-2/2) und den Punkt A(3/0/-3). Wie stellt man hiermit eine Normalengleichung auf?
Könnt Ihr mir bitte erklären, wie Ihr auf die Lösung kommt.
Dankeschön.
Hi,
Um jetzt nicht unverschämt zu sein. RTFM! (M=Mathebuch) Dort steht eigentlich immer alles in recht einfachen Worten.
Skizziere kurz, wie du es schon probiert hast. Ohne deinen Wissensstand zu kennen ist es enorm schwierig dir zu helfen.
- Weisst du was ein Normalenvektor ist?
- Kennst du die Punkt-Normalen-Form?
- Kennst du das Vektorprodukt?
- Kennst du das Skalarprodukt?
- Kennst du das Kreuzprodukt?
- Kennst du das Spatprodukt?
- Bist du im Stande ein lineares Gleichungssystem zu lösen?
- Welche Methoden sind dir bekannt um ein Gleichungssystem zu lösen?
Was hast du bereits probiert, um das Problem zu lösen?
Zur anderen Frage:
Sind dir die Begriffe Stützvektor, Spannvektor, Richtungsvektor bekannt?
Gruß
MklMs
Hi,
Hi,
Die Ebene E ist festgelegt durch g: x= (-1/1/1)+t*(2/-2/2) und
den Punkt A(3/0/-3). Wie stellt man hiermit eine
Normalengleichung auf?
Wenn du die Ebenengleichung meinst:
E = a\vec{v} + b\vec{w} + C
E = (-1,1,1) + (2t,-2t,2t) + (3,0,-3)
Dann steht der Normalenvektor senkrecht auf der Ebene.
Senkrecht auf der Ebene zu stehen, bedeutet nun, dass mit
jedem Vektor aus der Ebene das Skalarprodukt mit dem
Normalenvektor Null ist.
Sei
\langle v,w \rangle \equiv v \cdot w = \sum\limits_{i=1}^n
vi_iw_i
ein Skalarprodukt. Jetzt nimm dir deinen Zielvektor
\vec{n} = (n_1,n_2,n_3)
und zwei Vektoren v,w der Ebene - zum Beispiel (-1,1,-1) und
(2t,-2t,2t) wobei du t beliebig wählen kannst und löse
\begin{eqnarray}
\vec{n}\cdot\vec{n} = n_1^2 + n_2^2 + n_3^2 = 1 \
\vec{n}\cdot\vec{v} = -n_1 + n_2 - n_3 = 0 \
\vec{n}\cdot\vec{w} = 2n_1 - 2n_2 + 2n_3 = 0
\end{eqnarray}
Weitere Vektoren für w bringen dich nicht weiter, da diese von
den beiden anderen linear abhängig wären.
Aber diese Gleichung ist lösbar, das Ergebnis ist der
normierte Normalenvektor.
Könnt Ihr mir bitte erklären, wie Ihr auf die Lösung kommt.
Dankeschön.
Vielleicht hilft dir das weiter.
cfg
Alternativ
Alternativ benutze das Kreuzprodukt aus zwei Ebenenvektoren, welches senkrecht auf der Ebene stehen muss und normiere es, indem du es durch sein eigenes Skalarprodukt teilst.
Moin,
Wenn du die Ebenengleichung meinst:
E = a\vec{v} + b\vec{w} + C
E = (-1,1,1) + (2t,-2t,2t) + (3,0,-3)Dann steht der Normalenvektor senkrecht auf der Ebene.
Das ist falsch, Dein E stellt eine Gerade dar.
Senkrecht auf der Ebene zu stehen, bedeutet nun, dass mit
jedem Vektor aus der Ebene das Skalarprodukt mit dem
Normalenvektor Null ist.
Das ist auch falsch, das Skalarprodukt aus dem Diffenzvektor eines Punktes der Ebene zum Stützpunkt (Aufpunkt oder wie auch immer ihr das nennt) und dem Normalenvektor ist Null.
Bekannt sind schon mal zwei Punkte A und der Stürzpunkt der Geraden g, aus der Geraden g können wir durch Wahl von t ungleich Null einen dritten Punkt gewinnen.
Dann kann man zwei Richtungsvektoren bekommen und damit dann den Normalenvektor berechnen.
Gruß Volker
Moin,
Hallo,
E = a\vec{v} + b\vec{w} + C
E = (-1,1,1) + (2t,-2t,2t) + (3,0,-3)
Das ist falsch.
zu ergänzen wäre natürlich:
E = a\vec{v} + b\vec{w} + C \Leftrightarrow
E = (-1,1,1) + (2t,-2t,2t) + (3,0,-3)
ist eine Ebenengleichung.
vgl. z.Bsp.
http://de.wikipedia.org/wiki/Ebene_(Mathematik)#Glei…
http://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität
einen vergnüglichen Abend damit wünscht
Cfg
Moin,
zu ergänzen wäre natürlich:
E = a\vec{v} + b\vec{w} + C \Leftrightarrow
E = (-1,1,1) + (2t,-2t,2t) + (3,0,-3)
Tut mir Leid, Deine Links helfen wirklich nicht weiter.
E = (-1,1,1) + (2t,-2t,2t) + (3,0,-3)
Das ist und bleibt eine Gerade. Die beiden Ortsvektoren werden addiert und dann bleibt noch der Richtungsvektor mit dem Parameter t, wie soll man da eine Ebene aufspannen?
Natürlich ist durch eine Gerade und einem Punkt, der nicht auf der Geraden liegt eine Ebene bestimmt.
Vermtl. willst Du auf die Normalenform hinaus, dann ist aber die Schreibweise falsch, dann müsste ein Skalarprodukt auftauchen.
Gruß Volker
Hallo,
E = a\vec{v} + b\vec{w} + C \Leftrightarrow
E = (-1,1,1) + (2t,-2t,2t) + (3,0,-3)
ahja, das soll eine Ebene beschreiben? Mit der Tatsache, dass der Term (-1,1,1) + (2t,-2t,2t) + (3,0,-3) nur einen Parameter enthält, hast Du kein größeres Problem?
Gruß
Martin
Hallo,
Hi,
E = a\vec{v} + b\vec{w} + C \Leftrightarrow
E = (-1,1,1) + (2t,-2t,2t) + (3,0,-3)ahja, das soll eine Ebene beschreiben? Mit der Tatsache, dass
der Term (-1,1,1) + (2t,-2t,2t) + (3,0,-3) nur einen Parameter
enthält, hast Du kein größeres Problem?
Die Kurve liegt komplett in der Ebene
E = a(-1,1,1) + b(2,-2,2) + (3,0,-3)
Wir können nun den Normalen zu dieser Ebene konstruieren, wenn wir a=1 wählen, was also die Bestimmung der Ebene, in welcher die Kurve eingebettet ist, etwas redundant macht.
Ich nehme mal an, dass die Frage auf die Konstruktion einer Normalen zur Ebene, die die Kurve enthält.
Gruß
Martin
Grüße
Cfg
Hi,
siehe eben. Ich glaube, ich habe das Missverständnis gefunden. Die gegebene Gleichung beschreibt eine Gerade, ich hatte dazu eine Ebene antizipiert, in welcher die Gerade enthalten liegt.
Grüße
Cfg
Erstmal, es gibt verschiedenen lösungen.
Dein Fehler ist, dass Du (-1,1,1) als richtungsvektor genommen hast, als Aufpunkt/Stützvektor ist es ok.
Wenn Du Dich für einen Stützpunkt entschieden hast, spielen nur noch die Differenzvektoren zu diesem Punkt eine Rolle, diese liegen dann in der Ebene.
Aus der Gerade g kann man durch Wahl von t ungleich Null einen zweiten Pkt. konstruieren. Aber das habe ich ja schon beschrieben.
Hoffentlich haben wir den UP nicht zu verwirrt.
Gruß Volker
Die Kurve liegt komplett in der Ebene
Was für eine Kurve? Es war hier bisher an keiner einzigen Stelle die Rede von einer Kurve. Meinst Du die Gerade g aus dem Ursprungsposting? Warum nennst Du die dann nicht Gerade? Hast Du Angst, man könnte Dich verstehen?
E = a(-1,1,1) + b(2,-2,2) + (3,0,-3)
Glückwunsch, das beschreibt wenigstens eine Ebene. Die gesuchte Ebene, die die Gerade g: x = (-1/1/1) + t*(2/-2/2) und den Punkt A(3/0/-3) enthält, ist das allerdings immer noch nicht. Kannst ja mal versuchen, a und b so zu wählen, dass der Aufpunkt (-1/1/1) der Geraden rauskommt.
Ich nehme mal an, dass die Frage auf die Konstruktion einer
Normalen zur Ebene, die die Kurve enthält.
Dem Satz fehlt das Verb, und ich hab auch sonst keine Ahnung, was Du damit sagen willst. Erklär mal.
Gruß
Martin
Hallo,
Die Ebene E ist festgelegt durch g: x= (-1/1/1)+t*(2/-2/2) und den
Punkt A(3/0/-3). Wie stellt man hiermit eine Normalengleichung auf?
allgemein ist Deine Gerade g: x = p + t r und Dein Punkt a (fette Buchstaben = Vektoren). p heißt Aufpunkt und r Richtungsvektor von g.
Die Frage nach einer _Parameter_gleichung der gesuchten Ebene E kann man sofort beantworten, weil man direkt zwei linear unabhängige Richtungsvektoren von E angeben kann, nämlich r und a – p. Folglich ist E: x = p + t r + s ( a – p ) eine Parametergleichung von E.
Jetzt zur _Normalen_gleichung von E. Dafür musst Du einen Vektor kennen, der senkrecht auf E steht. Diese Eigenschaft hat der Vektor n = r × ( a – p ). Rechne ihn aus, und anschließend auch noch den Wert des Skalarprodukts " n mal ein Vektor zu irgendeinem Punkt aus E", naheliegenderweise n · p oder n · a. Diese Skalarprodukte haben alle denselben Wert λ. Danach bist Du fertig: n · x = λ ist eine Normalengleichung von E.
Gruß
Martin