Hallo zusammen.
Ich habe da ein kleines Problem: ich soll die Fläche zwischen der Kurve f(x)=1/3*(x^3+3x^2-9x) und der Tangente im
Punkt P (1/f(x)) an die Kurve berechnen.
Dabei brauche ich auch die Nullstellen der Kurve.
Bloß wie berechne ich die Nullstellen bei einer Kurve, wo x^3 vorkommt?
Gibts da auch eine Formel?
In dem Fall schon… da es bei dir nur Summanden mit x gibt, kannste ja einfach ein x ausklammern und hast schonmal eine Nullstelle bei x = 0, dann die quadratische Gleichung gemäß Lösungsformel ausrechnen
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Hallo!
Ansonsten gibt´s für x^3 auch keine Formel. Meistens wird eine Lösung von x durch probieren bestimmt, diese ausgeklammert und die übrig gebliebene quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel berechnet.
Weitere Möglichkeit: numerische Verfahren
Schönen Gruß
Andre
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VORSICHT
Hallo Kollegen,
es gibt für Gleichungen dritten Grades doch das Lösungsverfahren von Cardano (hoffe ich habe den Namen richtig geschrieben).
Dies ist ein rein analytisches Verfahren und funktioniert immer -soweit ich mich erinnern kann an damals-.
Viele Grüße
Dietmar
Hallo!
Jetzt hast mich neugierig gemacht 
Weißt´ auch noch wie das Verfahren funktioniert? Hab nix dazu gefunden…
Gruß
Andre
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Hallo Andre,
es ist eine fundamentale Erkenntnis der Algebra, das die Nullstellen von Polynomen bis einschließlich 4. Grades immer analytisch geschlossen bestimmt werden können.
Die Verfahren findest Du gut erklärt in:
Taschenbuch der Mathematik.
von Ilja N. Bronstein, Konstantin A. Semendjajew, Gerhard Musiol
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EUR 29,65
Gebundene Ausgabe - Harri Deutsch, Ffm.
Erscheinungsdatum: September 2000
Auflage: 5., überarb. u. erw. Aufl.
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Gruß
Ted
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Hallo Andre,
es ist eine fundamentale Erkenntnis der Algebra, das die
Nullstellen von Polynomen bis einschließlich 4. Grades immer
analytisch geschlossen bestimmt werden können.
Hallo!
Die Lösung für zum Beispiel eine kubische Gleichung mit herausfinden der 1. Lösung, durchdividieren etc. ist ja auch eine analytisch geschlossenen Lösung, und keine numerische oder so. Denke aber, dass es kein „einfaches“ Verfahren gibt für Gleichungen höher als 2. Grades zur Lösungsbestimmung (wie etwa die Mitternachtsformel (also einsetzen und dann erhält man die Lösung)). Oder?
Gruß
Andre
Denke aber, dass es kein „einfaches“ Verfahren gibt
für Gleichungen höher als 2. Grades zur Lösungsbestimmung (wie
etwa die Mitternachtsformel (also einsetzen und dann erhält
man die Lösung)). Oder?
Doch. Genau das leisten die Cardanischen Formeln. Erst ab Gleichungen 5. Grades sind solche allgemeinen Lösungen nicht mehr möglich.
Hi!
Also wenn du wild umdichschlagend nach einer Formel suchst, vergiss es wenn du weiter kommen willst! Sei mal kreativ!!!
x ausklammern:
f(x)=1/3*x*(x^2+3x-9)
-> Satz vom Nullprodukt und schon ist x1 = 0
Den Rest einfach mal in eine Mitternachtsformel packen (damit du den Formel- und damit Mathecahrakter nicht vermisst):
x2\x3 = -3 ± Wurzel(3^2-4*1*9) / 2*1
-> x2 = 1,854
-> x3 = -4,854
Ergebnis: Nullstellen {0; 1,9; -4,9}
Im übrigen funktioniert das später mit dem Newtonverfahren ganz gut, was die Nullstellen Näherungsweise auf belibig viele Nachkommastellen genau berechnet. Aber Wen interessiert schon ein Ergebnis in Form einer Zahl???
Danke, ABER
Danke erst mal an alle, die mir so schnell geantwortet haben, aber ich hab da eine KLeinigkeit vergessen, die mir sofort wieder eingefalen ist, als ich die erste Antwort gelesen hab:
Na klar kann man das x herausheben, ist ja einfach; aber bei meiner Gleichung hängt hinten noch ein +5 dran, also:
f(x)=1/3*(x^3+3x^2-9x)+5/3
wenn ich diese Gleichung 0 setze, erhalte ich:
0=x^3+3x^2-9x+5
Ich hab’ nur eine Möglichkeit gefunden:
Ich suche mir wenigstens eine Nullstelle (-5) und mache dann eine Polynomdivision durch (x+5), dadurch erhalte ich eine lösbare quadratische Gleichung;
Ich weiß allerdings nicht, warum dies das richtige Ergebnis liefert;
Ich habe auch gelesen, dass das Horner-Schema(???) hier hilfreich sein könnte?
eine Polynomdivision durch (x+5), dadurch erhalte ich eine
lösbare quadratische Gleichung;
Ich weiß allerdings nicht, warum dies das richtige Ergebnis
liefert;
Weil es einen Fundamentalsatz gibt, jedes Polynom kann als Produkt von Linearfaktoren (sowas wie x+5) geschrieben werden. Mit der Poldiv entfernst Du einen bekannten und kannst dann weiter die unbekannten suchen.
Ich habe auch gelesen, dass das Horner-Schema(???) hier
hilfreich sein könnte?
Kaum, hoechstens als clevere Variation zur Polynomdivision.
http://mathworld.wolfram.com/CubicEquation.html
Ciao Lutz
Danke erst mal an alle, die mir so schnell geantwortet haben,
aber ich hab da eine KLeinigkeit vergessen, die mir sofort
wieder eingefalen ist, als ich die erste Antwort gelesen hab:
Na klar kann man das x herausheben, ist ja einfach; aber bei
meiner Gleichung hängt hinten noch ein +5 dran, also:
f(x)=1/3*(x^3+3x^2-9x)+5/3
wenn ich diese Gleichung 0 setze, erhalte ich:
0=x^3+3x^2-9x+5
Hi Joachim,
es wird hier oft einfach die erste Nullstelle geraten,
oder man versucht eine Stelle zu finden, die in der Nähe von
0 ist.
Hier ist es einfach man findet schnell die 1 als Nullstelle.
danach kann man mit (x-1) Polynomdivision machen.
das ergibt: x^2 + 4x -5
hier kann man nochmal mit (x-1) dividieren:
(x-1)*(x-1)*(x-5)
Nullstellen sind also: 1 (doppelt) und 5 einfache Nullstelle.
Gruß Peter