Hallo,
bin schon seit einiger Zeit am versuchen, zu folgender Funktion eine Nullstelle rauszubekommen. Kann sein, dass ich dafür schlicht zu dumm bin, aber hoffentlich klärt mich einer auf. Ich habe auch schon im Netz und in meinen alten Schulsachen nachgesehen - aber Fehlanzeige.
Polynomdivision, Mitternacht… alles gescheitert.
Die Funktion lautet:
f(x) = (3x) / (x³+2x+2)
Für eine anschauliche Erklärung wäre ich sehr dankbar…
lg
alex
Hey Alex,
die Nullstelle ist einfach bei x=0.
f(x) = 0
\frac{3x}{x^3+2x+2} = 0
Jetzt mit dem Hauptnenner durchmultiplizieren:
3x = 0
x=0
Also muss man für die Nullstellen nur den Zähler 0 setzen.
Gruß René
moin;
ich hätte zufällig eine anschauliche Erklärung parat 
wie du weißt, wird ein Produkt genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null wird. Zusätzlich kann man die Division als eine Multiplikation mit dem Reziproken auffassen.
Damit kann deine Funktion folgendermaßen aufschreiben:
f(x)=3x*\frac{1}{x^3+2x+2}
Der zweite Faktor wird, außer im Grenzübergang x->unendlich, was kaum als Nullstelle gezählt werden kann, niemals 0. Der erste Faktor aber schon, nämlich genau für x=0, womit dies schon mal eine potentielle Nullstelle ist.
Ob sie wirklich eine ist, ist aber noch zu überprüfen, weil die Funktion, falls der Nenner Null wird, nicht definiert ist. Der Nenner wird aber für x=0 nicht zu 0, weswegen die Nullstelle von f(x) bei x=0 zu suchen ist =)
Prinzipiell wird eine gebrochenrationale Funktion also dann Null, wenn der Zähler zu Null wird, der Nenner aber nicht.
mfG
hallo,
vielen herzlichen Dank für die schnelle Antwort!
Viele Grüße
alex
Hallo,
danke für die schnelle AW… dummheit zahlt sich aus… wie man ne Nullstelle berechnet kann sogar ich noch 
das problem war die nullstelle des Nenners, sprich die Def.-Lücke. Die eine liegt bei x=0, aber den Restterm x^2+2+(2/x)… hat der überhaupt eine weitere Nullstelle, die somit Def-Lücke ist?
…das Problem ist nur wenn man in Gedanken wo anders ist Das Problem war die Nullstelle des Nenners, also die Definitionslücken…sry
Hey Alex,
erstmal: bei x=0 ist keine Definitionslücke
Bei x^3+2x+2 = 0 kann es sein, dass du nur eine reelle Nullstelle besitzt. Die anderen 2 wären dann komplex und somit nicht per Hand zu bestimmen.
Die reelle Nullstelle ist:
x= -\frac{1}{3} \cdot (27+3 \sqrt{105})^{1/3}+\frac{2}{(27+3 \sqrt{105})^{1/3}}
Stell ich mir auch schwierig vor, per Hand auszurechnen
Gruß René
Hallo
ich will mich da ja nicht einmischen, weil ichs selber nicht besser kann, aber wenn man das in einen Funktionsplotter eingibt kommt raus: x=-0,77 …
Hoffe ich konnte helfen, viele Grüße
mgb
Hallo Alex,
Du suchst also die Lösungen von
x³ + 2x + 2 = 0?
Kein Wunder, dass Dir dazu nichts einfällt - das geht nämlich nicht so einfach. Erstaunlich, dass die Lösungsformel schon im 16. Jahrhundert bekannt war: Gerolamo Cardano hat’s entdeckt.
Nachlesen kannst Du die berühmte Formel (die niemand, den ich kenne, auswendig kann) bei Wiki: http://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln.
Demnach ist die (einzige reelle) Lösung Deines Problems bei
\sqrt[3]{\sqrt{\frac{35}{27}}-1}+\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{35}{27}}-1}.
Ich habe versucht, diesen Ausdruck zu vereinfachen; jedoch es scheint nicht zu gehen.
Liebe Grüße
Immo
Hey mgb,
des könnte in etwa die Näherung für meinen Wert sein. Habs nur so grob überschlagen und es könnte passen
Gruß René
Hi,
na dann… bon courage an alle!
MfG
mgb
Weil mich die Sache auch interessiert und du auch was anderes rausbekommst. Wie setzt man das denn in die Formel(n) ein?
Danke im Voraus!
und viele Grüße
mgb
Hallo Immo,
Gerolamo Cardano hat’s entdeckt.
dem kann nicht unwidersprochen bleiben. Cardano fand lediglich heraus, wie man Gleichungen mit einem quadratischen Glied auf solche mit nur linearem Glied reduzieren kann. Das eigentliche Lösungsverfahren wurde von Nicolo Tartaglia entdeckt, bzw. war Scipione dal Ferro schon davor im Besitz einer Lösungsformel für r³ + p r – q = 0 (mit nichtnegativen Koeffizienten p, q). Cardanao hat die vollständige Lösung, als er sie schließlich kannte, publiziert.
Die interessante Geschichte um die Lösung der kubischen Gleichung ist auch wissenschaftshistorisch bedeutsam (Rolle der wissenschaftlichen Veröffentlichung damals vs. heute):
http://de.wikipedia.org/wiki/Nicolo_Tartaglia
(Abschnitt „Die Lösungsformel für kubische Gleichungen“)
„Mit besonderer Leseempfehlung!“
Gruß
Martin
Hallo Martin,
danke für die Richtigstellung. Ich habe selbst mal eine Arbeit über diese Lösungsformel geschrieben, deshalb kann ich nur bestätigen, dass es Tartaglia war.
Meine Nachlässigkeit war unter anderem dadurch begründet, dass ich den Hinweis auf Cardano bereits geschrieben hatte, bevor ich feststellte, dass die gegebene Gleichung bereits in reduzierter Form vorliegt.
Liebe Grüße
Immo
Bei welcher Rechnung bekommst Du was Anderes heraus? Beim Einsetzen oder bei Deiner Näherungslösung?
Letzteres kann eigentlich nicht sein, da meine Lösung ein äquivalenter Ausdruck zu der von The Bozz ist (hat mich auch etwas Zeit gekostet, dies zu überprüfen).
Beim Einsetzen kann eigentlich gar nicht sooo viel schiefgehen: Du rechnest halt zuerst die Diskriminante aus, dann erhältst Du
D=\left(\frac{2}{2}\right)^2+\left(\frac{2}{3}\right)^3
=1+\frac{8}{27}=\frac{35}{27}.
Das setzt Du dann direkt in die Formeln für u und v ein (mit jeweils den reellen Wurzeln) und addierst u und v. Dadurch erhältst Du einen Ausdruck der Form „dritte Wurzel von irgendwas + dritte Wurzel von irgendwas mit anderen Vorzeichen“.
Liebe Grüße
Immo
Bei der genauen Berechnung nach der auf wikipedia gezeigten Formel kam bei mir etwas anderes raus als bei deiner. Kann sein, dass ich mich iwie vertan habe. Sry.
Deine Begründung hört sich schlüssig an und scheint rechnerisch zu stimmen.
Viele Grüße
mgb
…zumindest kommt so -0.65 raus und nach geogebra müsste -0.77 rauskommen.
Bei mir kommt auch -0.77 raus, ich weiß ja nicht, womit Du auf -0.65 kommst.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%2835%2F27%2…
Liebe Grüße
…dann liegt’s wohl an mir… danke für die ausführliche Rechnung!
Viele Grüße
mgb