Hallo Experten,
Wie ist es am EInfachsten Nullstellen 3 und 4 Grades anhand einfacher FOrmeln zu bestimmen.
Wie funktioniert S u b s t i t u t i o n ? Bitte anhand eines einfachem beisp. erläutern. danke.
Hallo „Superstar 2008“,
Wie ist es am EInfachsten Nullstellen 3 und 4 Grades anhand
einfacher FOrmeln zu bestimmen.
Garnicht. Die Formeln dafür sind nicht einfach.
Wie funktioniert S u b s t i t u t i o n ? Bitte anhand eines
einfachem beisp. erläutern.
Funktionsweise: Ein Teilterm innerhalb eines Terms wird durch einen anderen Term ersetzt (= substituiert).
Beispiel: Wenn Du in (x²+1)² + 5 (x²+1) – 8 = 0 das doppelt vorkommende x²+1 z. B. durch y substituierst, führt das auf die einfacher zu lösende Gleichung y² + 5 y – 8 = 0.
hab ich nicht verstanden, sorry…bitte einfach an die fragestellung halten, dann ist es auch für nicht mathematiker verständlicher vielen dank.
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Hallo
Wie ist es am EInfachsten Nullstellen 3 und 4 Grades anhand
einfacher FOrmeln zu bestimmen.Garnicht. Die Formeln dafür sind nicht einfach.
„Beliebt“ : Eine Nullstelle (zwei bei 4 Grad) raten (bzw „Wie man leicht sieht …“) und dann ausklammern, so dass qudratische übrig bleibt. Die ist dann einfach lösbar.
Gruß
Karl
Beispiel: Wenn Du in (x²+1)² + 5 (x²+1) – 8 = 0 das doppelt
vorkommende x²+1 z. B. durch y substituierst, führt das auf
die einfacher zu lösende Gleichung y² + 5 y – 8 = 0.
ich mach hier mal einfach weiter: 
Du kannst nun y² + 5 y – 8 = 0 vergleichsweise einfach lösen mit der sogenannten Mitternachtsformel ( Mann diese Formel auch ABC-Formel. Siehe dazu http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung).
Damit bekommst du einen oder zwei Werte für y. (Hier sind es zwei Werte: y1=2,55 und y2=-12,55) Da wir y durch x²+1 substituiert haben, gilt y1 = x²+1.
Das kann man wieder mit der ABC-Formel nach x auflösen(x1,2=Wurzel(1,55)/-Wurzel(1,55). Da wir aber noch einen zweiten Wert für y haben, müssen wir auch diesen behandeln. Wir setzen also auch y2 = x²+1 und versuchen nach x aufzulösen. Leider erfüllt hier kein x die Gleichung, da du dazu die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen müsstest. Also hat die Gleichung
(x²+1)² + 5 (x²+1) – 8 = 0 nur die Lösungen x1,2=Wurzel(1,55)/-Wurzel(1,55).
Hätten wir für y2 auch noch x-Werte bekommen, so würden diese auch die Gleichung (x²+1)² + 5 (x²+1) – 8 = 0 lösen und wir hätten für diese Gleichung 4 Lösungen anstatt nur 2.
Gruß,
Timo
Hallo erstmal.
bitte einfach an die
fragestellung halten, dann ist es auch für nicht mathematiker
verständlicher vielen dank.
Also ein bisschen Theorie einüben muss man wohl selbst machen
Wie ist es am EInfachsten Nullstellen 3 und 4 Grades anhand
einfacher FOrmeln zu bestimmen.Garnicht. Die Formeln dafür sind nicht einfach.
Bzw. es gibt nur in Spezialfällen geschlossene Lösungen und entsprechend einfache Formeln. Z.B. x^4=0. Unfreundlicher wird die Sache z.B. bei 5x^4 -8x^3-17x^2 +8x +9 = 0: hier kann neben einer Grafik eine Näherungslösung (oder Raten) weiterhelfen.
mfg M.L.
Hallo Experten,
Wie ist es am EInfachsten Nullstellen 3 und 4 Grades anhand
einfacher FOrmeln zu bestimmen.
„Raten“ und dann Polynomdivison.
Wenn du WEISST, dass alle Nullstellen ganze Zahlen sind, was in der Schule häufig der Fall ist (allerdings nicht immer!), dann ist „scharfes Hinsehn“ noch eine interessante alternative. Dabei schaust du dir den Faktor von x^0 etwas genauer an. Die Nullstelle ist immer ein Teiler davon, da sonst die Polynomdivison einen Rest hätte.
BSP.: x^3 + x^2 - 37*x + 35
Nullstellen können nur -7,-5,-1,1,5 oder 7 sein, da
-1*5*-7=-*5*7=1*5*7=-1*-5*7…=35
ist.
Etwas mehr nachdenken liefert in diesem Fall auch noch, dass entweder 1 oder -1 Nullstelle sein MÜSSEN, da die einzigen ganzzahligen Teiler von 35 ±5 und ±7 sind, die jeweils nur einmal vorkommen können. Da du Ordnung 3 hast (x^3) musst du aber noch eine dritte Nullstelle haben.
Wenn du nicht sicher bist ob nur ganze Zahlen vorkommen, dann kann dir dies jedoch als Anhaltspunkt dienen, wo du mit Raten anfangen solltest.
Viel Glück
Xabbu
PS.: Wenn dus nachrechnen willst:
x^3 + x^2 - 37*x + 35 = (x-1) * (x-5) * (x+7)
Wie bist du so schnell auf die -7,-5,-1,1,5 und 7 gekommen, da gibts doch nen trick den du mir nicht verraten willst ?! 
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Wie bist du so schnell auf die -7,-5,-1,1,5 und 7 gekommen, da
gibts doch nen trick den du mir nicht verraten willst ?!
Trick? Naja, du zerlegst die letzte Zahl (hier 35) in ihre Primfaktoren bzw. Teiler (weil du dann mehr Zahlen bekommst). Einmal mit positivem Vorzeichen einmal mit negativem und nimmst noch 1 und -1 hinzu und fertig.
Und wenn alle Stricke reißen, dann kannst du immernoch das Newton-Verfahren anwenden. 
x303