Hallo
ich habe die folgende Gleichung y= x^3/3 - x^2/2 - 2x + 5
Nun will ich die Nullstellen berechnen, komme aber mit Methoden wie „die erste Nullstelle erraten“ nicht weiter…auch mit Newton komm ich nicht weiter…Wie bekomme ich die erste nullstelle…kann mir wer helfen??
Danke
Hallo
Hi
ich habe die folgende Gleichung y= x^3/3 - x^2/2 - 2x + 5
Nun will ich die Nullstellen berechnen, komme aber mit
Methoden wie „die erste Nullstelle erraten“ nicht
weiter…auch mit Newton komm ich nicht weiter…Wie bekomme
ich die erste nullstelle…kann mir wer helfen??
Ich nehme mal an du meinst y = 1/3*x³ - 0.5*x² - 2*x + 5
In dem Falle fällt mir auch keine analytische Lösung ein, und das Newton Verfahren scheint hier tatsächlich nicht zu funktionieren. Wäre schön wenn sich dazu mal ein Mathematiker äußern würde.
MATLAB jedenfalls liefert eine reelle Nullstelle
-2.7240
und zwei komplexe Nullstellen
2.1120 + 1.0227i
2.1120 - 1.0227i
Danke
Bitte
Daniel
Ja genau, die vereinfachte Form ist y = 1/3*x³ - 0.5*x² - 2*x + 5
Also ich komm nicht drauf…mein Taschenrechner spuckt mir auch ne Nullstelle x=2,7243 aus, aber das soll ja nicht mein taschenrechner machen sondern ich selbst.
Wäre froh, wenn sich mal jemand damit beschaffen würde
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hi,
generell bringst du die Gleichungen der Form
a1*x³ + a2*x² + a3*x + a4 = 0 durch Division mit a1 auf die Normalform:
x³ + a*x² + b*x + c = 0.
dann substituierst du x mit z-a/3 und erhälst die reduzierte Form:
z³ + pz + q = 0
(p = b-a²/3, q=2/27a³-ab/3+c)
ist jetzt p = 0, bist du (fast) fertig.
Ist p nicht 0, so führt die substitution z=u+v zu
u³ + 3u²v + 3uv² + v³ + p(u+v) + q = 0
und somit den beiden Gleichungen:
u³+v³+q = 0 und 3uv+p = 0.
Wenn (u,v)eine Lösung dafür ist, ist z=u+v eine Lösung der reduzierten Form und druch Umformung erhälst du
u³ = -a/2 + sqrt(q²/4 + p³/27) = k und 3uv+p=0 (p und q wie oben).
In den komplexen Zahlen hat u³=k die Lösungen
u1 = k^(1/3),
u2 = e*u1 und
u3 = e²*u1
(e = -1/2+sqrt(3)/2*i)
Mittels der zweiten Gleichung 3uv+p=0 erhält man die Werte v1, v2 und v3 zur Lösung der reduzierten Form
z1 = u1 + v1 = k^(1/3) - p/(3u1),
z2 = u2 + v2 = e*u1 + e²*v1
z3 = u3 + v3 = e²*u1 + e*v1.
Ferrig, rechnen musst du jetzt aber noch selber .-)
Grüße,
JPL
siehe z.B.: http://www.mathematik.ch/anwendungenmath/Cardano/For…
Danke für die ausführliche Erklärung, aber die Formel ist doch ziemlich kompliziert. Habe durch hin und her rechnen jetzt doch mit Newton das richtige Ergebnis wenn man mit xo=-2 beginnt.
Danke trotzdem
Ja genau, die vereinfachte Form ist y = 1/3*x³ - 0.5*x² - 2*x
- 5
Also ich komm nicht drauf…mein Taschenrechner spuckt mir
auch ne Nullstelle x=2,7243 aus, aber das soll ja nicht mein
taschenrechner machen sondern ich selbst.
Wäre froh, wenn sich mal jemand damit beschaffen würde
Hi !
Also ich würde mir die Funktion mit gnuplot zeichnen lassen, dann die Nullstellen durch Ablesen schätzen und mit den geschätzten Werten dann das Newtonverfahren starten. Das sollte funktionieren, solange zwischen dem geschätzten und dem wahren Wert kein Extremwert liegt, und die Extremwerte kann man ja leicht berechnen.
hendrik