Das schöne Polynom-Thema! Das wollen wir uns gaanz langsam
auf der Zunge zergehen lassen.
Allgemein gillt daß man bei Ausdrücken der Form
f(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + … + an*x^n
immer finden kann dass
f(x) = (b0 - x)(b1 - x)(b2 - x)*…*(bn - x) gilt.
Allerdings im allgemeinen nur mit komplexen Zahlen.
Dies ist der Hauptsatz der Algebra und über allem erhaben.
Man nennt die b0…bn auch Nullstellen wie dort offensichtlich
f(x)=0 gilt.
Die Schwierigkeit mit der man (mir völlig unbegreiflich warum)
immer die Schüler quält ist es nun aus der ersten Darstellung die
Zweite zu gewinnen. Diese Schwierigkeit ist prinzipiell immer
gegeben. Im Falle großer n gibt es bis heute kein schnelles
Verfahren um aus den a0…an die b0…bn zu berechen! Man redet
hier von Faktorisierung.
Deshalb haben Professoren und Studenten die Abmachung getroffen,
daß die Zahlen ±1 ±2 ±3 ±4 un keine anderen für einige b in Frage kommen. Dann rät man und fürt eine Polynomdivison durch, etwa
f(x) / (1-x). (Horner-Schema!)
Bei n=2 -> Mitternachtsformel
Bei n=3 gibt es die etwas komplizierte Cardanische Lösungsformel.
Ab n>=5 gehts nichts mehr. Dann helfen so Verfahren wie
Bisektion oder Newton, also Numerik.
Diese Substitutionen sind nur für sehr spezielle Fälle
geeignet: bei x^4 - x^2 ja ok weil 4 ein Vielfaches von 2 ist.
Bei x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 gehts so nicht.
Also nicht wundern wenn das Schwierig scheint, das ist es wirklich!
