Hi an alle!
Ich hab da mal eine Frage!
Ich habe die Funktion x^4 + 4x³ +30x² +12x -1 gegeben
Nun soll man zeigen, dass diese Funktion nur ein lokales Minimum, kein Maximum enthält.
Ich habe dazu schon die Ableitung gebildet: 3x³ + 12x² +60x +12
Nun wollte ich die Nullstellen der Ableitung herausfinden, damit ich am Ende sehen kann, ob es ein lokales Minimum oder Maximum gibt. Doch ich finde keine Nullstelle, mit der ich eine Polynomdivision machen kann…
Kann mir bitte jemand helfen.
Hallo,
also in deiner Ableitung ist ein Fehler: es heißt 4*x^3…vielleicht findest du nun eine Nullstelle zur Polynomdivision?
Viele Grüße
Bei weiteren Fragen einfach melden 
Hallo R.E.M. (?),
die erste Ableitung hat mindestens eine Nullstelle, da der Grenzwert für x\rightarrow\pm\infty auch \pm\infty ist.
Du kannst zeigen, dass die zweite Ableitung immer positiv ist, z.B. weil keine Nullstellen existieren.
Darum ist die erste Ableitung monoton steigend (und hat folglich nur genau eine Nullstelle), bzw. die Ausgangsfunktion ist überall linksgekrümmt.
Somit ist gezeigt, dass die Funktion nur ein lokales Minimum und kein Maximum hat, ohne dass der Wert (x ~ -0.208219717) ausgerechnet werden mußte.
Schöne Grüße,
Manfred
Lieber Ratsuchender,
da die Aufgabe lautet zu zeigen, dass die Funktion nur ein lokales Minimum hat, muss man die Extremstelle nicht unbedingt exakt berechnen.
Ein Schlüssel zur Lösung der Aufgabe führt über die zweite Ableitung.
Sie können mit Hilfe der pq-Formel leicht zeigen, dass die zweite Ableitung keine reellen Nulstellen hat und dass sie für alle reellen Zahlen größer ist als Null. Sie ist also immer positiv.
Durch Einsetzen von 0 und -1 in die erste Ableitung finden Sie, dass die erste Ableitung eine Nullstelle zwischen -1 und 0 haben muss (Zwischenwertsatz). Da die zweite Ableitung an dieser Stelle positiv ist, handelt es sich um ein lokales Minimum. Da sich bei Polynomen lokale Minima und lokale Maxima abwechseln, die zweite Ableitung aber in Ihrem Beispiel niemals 0 wird (was dazu erforderlich wäre, überlegen Sie sich, warum), kann es keine weiteren Extremwerte geben.
Die Aufgabe ist damit gelöst.
Mit freundlichen Grüßen
Thomas Klingbeil
Hallo! Was meinst du damit -> In deiner Ableitung ist ein Fehler? mit 4 x³…das steht ja in der funktion.
Die Ableitung lautet korrekt:
4x^3 + 12x^2 + 60x +12
Das heißt, dass du den ersten Term der Funktion falsch abgeleitet hast. Du hast nämlich 3x^3 rausbekommen als Ableitung von x^4 und das ist nicht korrekt.
Viele Grüße und für weitere Fragen bereit
Anja
Hallo! Was meinst du damit -> In deiner Ableitung ist ein
Fehler? mit 4 x³…das steht ja in der funktion.
Sorry, komme erst jetzt dazu, eMails zu lesen und zu beantworten - Weihnachtsstress…
Spontan fällt mir leider nix ein, wenns noch Fragen gibt, nochmal Bescheid sagen…
Sorry!