Nullstellen

Wissenschaft Physik
1

Es isz zum verzweifeln. Wollte mal eben jemandem bei den Hausaufgaben helfen und schon bin ich selber am schwitzen :smile:

Ich soll die Nullstellen folgender Funktion bestimmen:

f(x) = 1 + sin(kx)

Eine Nullstelle bekomme ich bei

x1=-Pi/(2k)

Die Periodizität der Sinusfunktion ist mir zwar bewusst, wie bekomme ich jedoch mathematisch die anderen Nullstellen heraus. Für k=1 wäre die die anderen Nullstellen x2(n)=n*2Pi-Pi/2.

So weit, so gut. Wie kann ich aber allgemein alle Nullstellen der Funktion f(x) ausdrücken? Wenn mir jemand den Weg aufzeigen könnte, wäre ich sehr dankbar.

Gruß,

Pere

2

Hallo Pere,

Ich soll die Nullstellen folgender Funktion bestimmen:

f(x) = 1 + sin(kx)

jede dieser Funktionen hat eine Nullstelle bei -Pi/(2k) und die Nullstellen folgen im Abstand 2 pi/k aufeinander. Die Menge aller Nullstellen kannst Du folglich so spezifizieren:

{-pi/(2k) + z \* 2 pi/k mit z € ZZ}

oder noch etwas vereinfacht

{(2 z - 1/2) pi/k mit z € ZZ}

Gruß zurück
Martin

3

Hallo Martin,

jede dieser Funktionen hat eine Nullstelle bei -Pi/(2k)

Das habe ich auch herausgefunden, und zwar in dem ich die Gleichung sin(kx)=1 gelöst habe. Soweit ist es ja noch nachvollziehbar.

die Nullstellen folgen im Abstand 2 pi/k aufeinander.

Wie kommst Du auf den Ausdruck „2Pi/k“?

Da Du ihn sicherlich nicht erraten hast, wäre ich Dir sehr verbunden, wenn Du mir den mathematischen Weg zeigen würdest.

Gruß,

Pere

4

Hallo,

jede dieser Funktionen hat eine Nullstelle bei -Pi/(2k)

Das habe ich auch herausgefunden, und zwar in dem ich die
Gleichung sin(kx)=1 gelöst habe. Soweit ist es ja noch
nachvollziehbar.

die Nullstellen folgen im Abstand 2 pi/k aufeinander.

Wie kommst Du auf den Ausdruck „2Pi/k“?

Die Funktion hat Nullstellen bei

 kx=-Pi/2+z\*2Pi

nach x aufgelöst

 x=-Pi/(2k)+z\*2Pi/k

Gruß

Sebastian

5

Hi Sebastian,

vielen Dank für Deine Mühe. Mir geht es nicht darum einfach eine Lösung zu bekommen, sondern der Weg zu dieser Lösung ist mir wichtig.

Die Funktion hat Nullstellen bei

kx=-Pi/2+z*2Pi

Woher weißt Du das denn? Geraten?

Bitte versteh mich nicht falsch, aber Du bringst mir einfach eine Lösung, ohne dass ich den Rechenweg nachvollziehen kann.

Der Ausgangspunkt ist

1+sin(kx)=0
sin(kx)=-1
kx=-pi/2
x=-pi/(2k)

Wie geht der Rechenweg für die anderen Nullstellen? Wäre schön, wenn es mir jemand ERKLÄREN könnte.

Gruß,

Pere

6

Hallo Pere,

ich glaube, Du erwartest noch mehr… :wink:

Also.
Die Aufgabe sei:
Finde für ein reelles a alle Lösungen x mit
sin x = a.

Herangehensweise:

  1. Mit der Periodizität von sin weiß ich, daß mit jeder Lösung x auch
    die Zahlen x + n*2Pi mit beliebigem ganzen n Lösungen sind.

Also genügt es, „Fundamentallösungen“ im Intervall [0,2Pi[ zu suchen.

  1. Jetzt muß man ein Buch der Elementarmathematik bemühen, was beweist, daß sin x = a

für |a|=1 genau eine Lösung in [0,2Pi[

und

für 0

7

Hallo Pere,

die Nullstellen folgen im Abstand 2 pi/k aufeinander.

Wie kommst Du auf den Ausdruck „2Pi/k“?

angenommen, Du hast irgendeine Funktion f(x). Diese Funktion möge drei Nullstellen haben, und zwar bei x = -4, x = 5.3 und x = 9.8.

Nun gebe ich Dir eine zweite Funktion g(x). Sie unterscheidet sich von der obigen Funktion f(x) nur dadurch, daß überall dort, wo im f-Term ein „x“ steht, im g-Term dort „12 x“ steht. Das heißt, Du könntest den g-Term aus dem f-Term gewinnen, indem Du alle 29 „x“, die im f-Term auftreten, ausradierst, und „12 x“ in die Lücke schreibst (und noch gegebenenfalls Klammern drum setzt).

Mathematisch ausgedrückt: g(x) = f(12 x).

Frage: Wo hat die Funktion g(x) Nullstellen?

Die Antwort kannst Du sofort geben: g(x) hat Nullstellen bei x = -4/12, x = 5.3/12 und x = 9.8/12! Den Grund dafür erkennst Du, wenn Du Dir die Graphen von f(x) und g(x) plotten würdest: der Graph von g(x) sieht genauso aus wie der von f(x), er ist bloß um das 12-fache in x-Richtung „zusammengequetscht“! Und mit dem Graphen quetschen sich natürlich auch alle Nullstellen um das 12-fache zusammen.

Allgemein gilt: Wenn f(x) eine Nullstelle bei x0 hat, dann hat die Funktion f(a x) eine Nullstelle bei x0/a.

Angewendet auf Deinen Sinus: Da 1+sin(x) Nullstellen hat bei -pi/2 + z 2 pi, hat 1+sin(k x) Nullstellen bei (-pi/2 + z 2 pi)/k. Das ist alles.

Ist es jetzt klargeworden?

Gruß
Martin